Wurzelkriterium -> Reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mo 29.11.2004 | | Autor: | vase2k |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin moin ..
ich hab mal ne kleine frage ..
die aufgabe lautet wie folgt:
Stellen Sie mit dem Wurzelkriterium die Konvergenz bzw. Divergenz folgender Reihen fest!
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{ k^{k}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^{2}}{2^{k}+3^{k}}
[/mm]
das wurzelkriterium is ja wie folgt definiert:
[mm] \wurzel[k]{| \bruch{1}{ k^{k}}|}
[/mm]
und wenn halt kleiner 1 dann absolut konvergent, wenn größer 1 dann divergent.
soweit so gut ;)
da [mm] \bruch{1}{ k^{k}} [/mm] für k = [mm] \infty [/mm] gegen 0 strebt, ist ja der betrag auch 0, daher ist die wurzel ebenfalls 0 und die für a) angegebene Reihe ist absolut konvergent ..
so hab ich mir das gedacht .. und würde jetzt gerne von euch entweder grenzenlose zustimmung hören oder halt meine fehler aufgezeigt bekommen ;)
mfg && danke im voraus
vase2k :):)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Mo 29.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Priwjet vase2k!
das Wurzelkriterium lautet:
Gilt für [mm] n>n_{0} [/mm] stets [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|}\le [/mm] q,mit q<1, so konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] absolut.
Das heißt natürlich das du ein solches q zu finden hast und auch explizit angeben mußt
für deine Aufgabe a) heißt das:
[mm] \wurzel[k]{|a_{k}|}=\wurzel[k]{|\bruch{1}{k^{k}}|}=|\bruch{1}{\wurzel[k]{k^{k}}}|=|\bruch{1}{k}|\le|\bruch{1}{2}|<1,\forall|k|\ge2
[/mm]
MfG zwerg
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