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| Aufgabe | Lösen Sie die folgende Wurzelgleichung:
[mm] \wurzel{2x^2-1} [/mm] + x |
Ich hab ein paar Probleme mit dem Minus-Zeichen als Vorzeichen und als Operator-Zeichen.. Nach meiner Rechnung kommt als Ergebnis +- 1 raus, was aber nicht stimmt (wie man sehen kann). Wie genau berechnet man die Lösung (ohne zwangsläufig überprüfen zu müssen ob die negative oder positive Lösung korrekt ist) ?
Mein Rechenweg war wie folgt:
[mm] \wurzel{2x^2-1} [/mm] + x = 0
<=> [mm] \wurzel{2x^2-1} [/mm] = -x
<=> [mm] 2x^2-1 [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
<=> [mm] x^2-1 [/mm] = 0
<=> [mm] x^2 [/mm] = 1
<=> x = +-1
Die korrekte Lösung ist aber nur -1.. Wir wäre ich ohne später die Ergebnisse erneut testen zu müssen auf das Ergebnis gekommen?
Und gibt es eine spezielle Regel, wann das Minus-zeichen als Operator und wann als Vorzeichen behandelt wird? In diesem Fall ist (glaube ich zumind.) im zwiten Schritt ja [mm] (-x)^2 [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
Es gibt aber ja auch viele Fälle in denen [mm] -x^2 [/mm] als [mm] -(x^2) [/mm] aufgefasst wird, wie genau kann ich eindeutig diese Fälle unterscheiden?
Danke schonmal im Voraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 So 06.10.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lösen Sie die folgende Wurzelgleichung:
> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] + x
> Ich hab ein paar Probleme mit dem Minus-Zeichen als
> Vorzeichen und als Operator-Zeichen.. Nach meiner Rechnung
> kommt als Ergebnis +- 1 raus, was aber nicht stimmt (wie
> man sehen kann). Wie genau berechnet man die Lösung (ohne
> zwangsläufig überprüfen zu müssen ob die negative oder
> positive Lösung korrekt ist) ?
>
> Mein Rechenweg war wie folgt:
> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] + x = 0
> <=> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] = -x
> <=> [mm]2x^2-1[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> <=> [mm]x^2-1[/mm] = 0
> <=> [mm]x^2[/mm] = 1
> <=> x = +-1
Das ist auch korrekt.
>
> Die korrekte Lösung ist aber nur -1.. Wir wäre ich ohne
> später die Ergebnisse erneut testen zu müssen auf das
> Ergebnis gekommen?
Gar nicht. Bei Wurzelgleichungen musst du zwangsläufig die Probe machen, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Beim Quadrieren können Lösungen hinzugemogelt werden, die die Startgleichung nicht erfüllen.
> Und gibt es eine spezielle Regel, wann das Minus-zeichen
> als Operator und wann als Vorzeichen behandelt wird? In
> diesem Fall ist (glaube ich zumind.) im zwiten Schritt ja
> [mm](-x)^2[/mm] = [mm]x^2[/mm]
Das ist korrekt
[mm] $(-x)^{2}=(-1)^{2}\cdot x^{2}=1\cdot [/mm] x=x$
> Es gibt aber ja auch viele Fälle in denen [mm]-x^2[/mm] als [mm]-(x^2)[/mm]
> aufgefasst wird, wie genau kann ich eindeutig diese Fälle
> unterscheiden?
Mit der Klammer:
[mm] $-x^{2}=(-1)\cdot x^{2}$
[/mm]
Marius
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Hallo,
> Lösen Sie die folgende Wurzelgleichung:
> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] + x
> Ich hab ein paar Probleme mit dem Minus-Zeichen als
> Vorzeichen und als Operator-Zeichen.. Nach meiner Rechnung
> kommt als Ergebnis +- 1 raus, was aber nicht stimmt (wie
> man sehen kann). Wie genau berechnet man die Lösung (ohne
> zwangsläufig überprüfen zu müssen ob die negative oder
> positive Lösung korrekt ist) ?
Manchmal löst sich das Problem auch durch einfaches draufschauen.
Angenommen die positive Lösung sei richtig:
[mm] \underbrace{\wurzel{2x^2-1}}_{>0}+\underbrace{x}_{>0}>0
[/mm]
Also hier kommt man eindeutig nicht auf die Gleichheit. Also sollte die Lösung durchaus negativ sein.
Mit der Probe kommt man aber schneller und einfacher zum Ziel.
>
> Mein Rechenweg war wie folgt:
> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] + x = 0
> <=> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] = -x
> <=> [mm]2x^2-1[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> <=> [mm]x^2-1[/mm] = 0
> <=> [mm]x^2[/mm] = 1
> <=> x = +-1
>
> Die korrekte Lösung ist aber nur -1.. Wir wäre ich ohne
> später die Ergebnisse erneut testen zu müssen auf das
> Ergebnis gekommen?
> Und gibt es eine spezielle Regel, wann das Minus-zeichen
> als Operator und wann als Vorzeichen behandelt wird? In
> diesem Fall ist (glaube ich zumind.) im zwiten Schritt ja
> [mm](-x)^2[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> Es gibt aber ja auch viele Fälle in denen [mm]-x^2[/mm] als [mm]-(x^2)[/mm]
> aufgefasst wird, wie genau kann ich eindeutig diese Fälle
> unterscheiden?
>
> Danke schonmal im Voraus :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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