Wurzelgleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Nach x auflösen: [mm] \wurzel{x+1} + 1/4*x +1 = 0 [/mm] |
Hallo,
oben die Gleichung ist nur ein Beispiel, ich hab eher eine generelle Frage zur Mathematik.
Löst man diese obige Gleichung auf, kommt man auf die Lösungen x=0 und x=8, welche aber beide einen Widerspruch ergeben, wenn man sie in die Gleichung einsetzt.
Ich denke nicht, dass ich einen Fehler gemacht habe, bei Bedarf kann ich auch den Rechenweg noch einmal posten. Meine Frage ist nun: Wieso stimmen die Lösungen nicht, die man mathematisch korrekt hergeleitet hat, was ja bei Wurzelgleichungen oft mal der Fall ist? Gibt es beim Umgang mit Wurzeln etwas, das die Schulmathematik verschweigt oder das ich vergessen habe?
Es wäre ja irgendwie wider die Mathematik wenn ich die Lösungen der Gleichung mathematisch korrekt herleite und sie trotzdem nicht stimmen, also muss irgendwo etwas sein, dass ich nicht kenne oder falsch mache.
Ich hoffe jemand nimmt sich dieser Frage an, vielen Dank 
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Hallo Lauschgift,
> Nach x auflösen: [mm]\wurzel{x+1} + 1/4*x +1 = 0[/mm]
> Hallo,
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> oben die Gleichung ist nur ein Beispiel, ich hab eher eine
> generelle Frage zur Mathematik.
>
> Löst man diese obige Gleichung auf, kommt man auf die
> Lösungen x=0 und x=8, welche aber beide einen Widerspruch
> ergeben, wenn man sie in die Gleichung einsetzt.
>
> Ich denke nicht, dass ich einen Fehler gemacht habe, bei
> Bedarf kann ich auch den Rechenweg noch einmal posten.
> Meine Frage ist nun: Wieso stimmen die Lösungen nicht, die
> man mathematisch korrekt hergeleitet hat, was ja bei
> Wurzelgleichungen oft mal der Fall ist? Gibt es beim Umgang
> mit Wurzeln etwas, das die Schulmathematik verschweigt oder
> das ich vergessen habe?
>
Formst Du die obige Gleichung etwas um,
so steht da:
[mm]\wurzel{x+1}=-\bruch{1}{4}*x-1[/mm]
Nun kannst vorab den Bereich bestimmen,
in dem die Lösungen liegen müssen.
Zum einen muss [mm]x+1 \ge 0[/mm],
damit man daraus die Wurzel ziehen kann.
Zum anderen ist die Wurzel aus einer Zahl,
diejenige positive Zahl, die quadriert diese Zahl
ergibt. Daher muss auch
[mm]-\bruch{1}{4}*x-1 \ge 0[/mm]
gelten.
Daraus ergeben 2 Ungleichungen,
die miteinander zu verknüpfen sind.
Unter Umständen kannst Du hier schon ersehen,
ob es überhaupt Lösungen geben kann.
> Es wäre ja irgendwie wider die Mathematik wenn ich die
> Lösungen der Gleichung mathematisch korrekt herleite und
> sie trotzdem nicht stimmen, also muss irgendwo etwas sein,
> dass ich nicht kenne oder falsch mache.
>
> Ich hoffe jemand nimmt sich dieser Frage an, vielen Dank
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mi 23.02.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Lauschgift,
ich möchte noch etwas ergänzen. Die Schulmathematik verschweigt schon ab und an etwas (super Spruch übrigens ), aber normalerweise bekommen die Schüler schon gesagt, dass Quadrieren, denn das hast du wohl gemacht um auf mögliche Lösungen zu kommen, keine Äquivalenzumformung ist, d.h. dadurch kann sich die Lösungsmenge verändern. Deshalb soll man ja immer die Probe machen.
Beliebtes Beispiel:
-1=1 keine Lösung
[mm] (-1)^2=1^2 [/mm] allgemeingültig
Lg walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 Mi 23.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Hi Lauschgift,
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> ich möchte noch etwas ergänzen. Die Schulmathematik
> verschweigt schon ab und an etwas (super Spruch übrigens
> ), aber normalerweise bekommen die Schüler schon
> gesagt, dass Quadrieren, denn das hast du wohl gemacht um
> auf mögliche Lösungen zu kommen, keine
> Äquivalenzumformung ist, d.h. dadurch kann sich die
> Lösungsmenge verändern. Deshalb soll man ja immer die
> Probe machen.
>
> Beliebtes Beispiel:
> -1=1 keine Lösung
> [mm](-1)^2=1^2[/mm] allgemeingültig
>
> Lg walde
Als Ergänzung im Konkreten Fall:
[mm] \wurzel{x+1} [/mm] + [mm] 1/4\cdot{}x [/mm] +1 = 0 lässt sich umformen zu
[mm] \wurzel{x+1} =-1/4\cdot{}x [/mm] -1
Das kann man grafisch lösen ( [mm] \wurzel{x+1} [/mm] und - [mm] 1/4\cdot{}x [/mm] -1 zeichnen und Schnittpunkte beider Graphen suchen --> es gibt keine.)
Nach dem Quadrieren wird daraus
x+1 = [mm] x^2/16 [/mm] +0,5x+1.
Diese beiden Graphen haben zwei Schnittpunkte - aber eben an Stellen, die vor dem Quadrieren gar nicht zum Definitionsbereich der Wurzel gehörten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Do 24.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Wir setzen $f(x):= [mm] \wurzel{x+1} [/mm] + [mm] 1/4\cdot{}x [/mm] +1 $ für x [mm] \ge [/mm] -1.
Dann ist für x [mm] \ge [/mm] 1:
$f(x) [mm] \ge 0+(-\bruch{1}{4})+1= \bruch{3}{4}$
[/mm]
f hat also keine Nullstelle.
FRED
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