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| Aufgabe | [mm] -(\wurzel{-6}+\wurzel{37})
[/mm]
D=[−(√−6+√37),∞) |
WIe komme ich auf den Definitionsbereich ? hänge seit 2 Tagen an der aufgabe ...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=571202&threadview=0&hilight=&hilightuser=0&page=1]
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> [mm]-(\wurzel{-6}+\wurzel{37})[/mm]
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> D=[−(√−6+√37),∞)
> WIe komme ich auf den Definitionsbereich ? hänge seit 2
> Tagen an der aufgabe ...
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=571202&threadview=0&hilight=&hilightuser=0&page=1]
Hallo
wenn du hier nicht vernünftig Klammern setzt, hat es
keinen Sinn, darauf einzugehen.
Nach Konsultation des anderen Forums, wo du deine
Frage gestellt hast, vermute ich, dass richtig wäre:
D = [- (√(- 6+√37)) , ∞)
Mach dir bitte klar, WIE wichtig die zusätzlich gesetzten
Klammern dabei sind !
Mittels [mm] TE_X [/mm] geschrieben wäre das:
$\ D\ =\ [mm] \left[ - \left(\sqrt{ -6 +\ \sqrt{37}}\ \right)\ \ ,\ \infty\ \right)$
[/mm]
Dann macht alles auch wirklich Sinn, und es kommen
nur reelle Intervallgrenzen vor.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 So 11.09.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der Term, wie du ihn dort stehen hast, ist nicht definiert.
Dem verlinkten Thread entnehme ich, dass dieser Term (oder besser der Term [mm] $-\sqrt{-6+\sqrt{37}}$) [/mm] einer Gleichung zugrunde liegt, nämlich:
[mm] \sqrt{1+x\cdot\sqrt{x^{2}+12}}=1+x
[/mm]
Nun geht es um den Definitionsbereich dieser Gleichung:
Dazu teile das ganze mal auf:
[mm] \sqrt{x^{2}+12} [/mm] macht kein Problem, denn [mm] x^{2}+12\ge0 [/mm] gilt immer
Bleibt also der Radikand der großen, äußeren Wurzel, also
[mm] 1+x\cdot\sqrt{x^{2}+12}
[/mm]
Nun gilt:
[mm] 1+x\cdot\sqrt{x^{2}+12}\ge0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x\cdot\sqrt{x^{2}+12}\ge-1
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sqrt{x^{2}+12}\ge-\frac{1}{x}
[/mm]
Quadrieren ergibt nun
[mm] x^{2}+12\ge-\frac{1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{4}+12x^{2}-1\ge0
[/mm]
Substitituierst du nun [mm] z=x^{2}, [/mm] bekommst du
[mm] z^{2}+12z-1\ge0
[/mm]
Diese nach unten geöffnete Parabel (in z) hat die Nullstellen [mm] z_{1}=-6+\sqrt{37} [/mm] und [mm] z_{2}=-6-\sqrt{37}
[/mm]
Nur aus dem positiven [mm] z_{1} [/mm] ergeben sich nun die Nullstellen für x, also [mm] x_{1;2}=\pm\sqrt{-6+\sqrt{37}}
[/mm]
Nun betrachte die Grenzwerte der Parabel 4 Grades [mm] x^{4}+12x^{2}-1. [/mm] Da sowohl für [mm] x\to\infty [/mm] als auch für [mm] x\to\infty [/mm] die Funktionswerte größer als Null sind, und zwischen den Nullstellen die Funktionswerte negativ, ergibt sich ein Definitionsbereich von
[mm] D=]-\infty;-\sqrt{-6+\sqrt{37}}]\vee[\sqrt{-6+\sqrt{37}};\infty[
[/mm]
Aber, da das Teilintervall [mm] ]-\infty;-\sqrt{-6+\sqrt{37}}] [/mm] die äußere Wurzel des Startterms [mm] \sqrt{1-x\cdot\sqrt{x^{2}+12}} [/mm] neagtiv machen würde, bleibt als Definitionsbereich der Gesamten Gleichung dann nur noch [mm] [\sqrt{-6+\sqrt{37}};\infty[ [/mm] übrig.
Marius
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