Wurzel für Matrizen konkav < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:43 Do 10.05.2012 | | Autor: | eps |
| Aufgabe | | Sei [mm] 0\le \alpha, \lambda \le [/mm] 1. Dann ist die funktion f(t) = [mm] t^{1-\alpha} [/mm] konkav und es gilt [mm] f(\lambda [/mm] A [mm] +(1-\lambda) [/mm] B) [mm] \ge \lambda [/mm] f(A) [mm] +(1-\lambda) [/mm] f(B). |
das soll auch für Matrizen A und B gelten. Sind A und B kommutativ, dann lassen sie sich mit derselben Transformationsmatrix diagonalisieren die zu zeigende Ungleichung reduziert sich auf
[mm] (\lambda D_A+(1-\lambda)D_B)^{1-\alpha}\ge\lambda D_A^{1-\alpha}+(1-\lambda)D_B^{1-\alpha}
[/mm]
Aber wie zeige ich das auch im allgemeinen Fall???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]0\le \alpha, \lambda \le[/mm] 1. Dann ist die funktion f(t)
> = [mm]t^{1-\alpha}[/mm] konkav und es gilt [mm]f(\lambda[/mm] A [mm]+(1-\lambda)[/mm]
> B) [mm]\ge \lambda[/mm] f(A) [mm]+(1-\lambda)[/mm] f(B).
> das soll auch für Matrizen A und B gelten. Sind A und B
> kommutativ, dann lassen sie sich mit derselben
> Transformationsmatrix diagonalisieren die zu zeigende
> Ungleichung reduziert sich auf
> [mm](\lambda D_A+(1-\lambda)D_B)^{1-\alpha}\ge\lambda D_A^{1-\alpha}+(1-\lambda)D_B^{1-\alpha}[/mm]
>
> Aber wie zeige ich das auch im allgemeinen Fall???
Vielleicht kann ich Dir helfen, vielleicht aber auch nicht. Zuvor 2 Fragen:
1. Eine Ordnung " [mm] \le [/mm] " ist i.a. nur auf der Menge der symmetrischen (bzw. hermiteschen) Matrizen möglich:
A [mm] \le [/mm] B : [mm] \gdw [/mm] B-A ist positiv semidefinit.
Sind also Deine Matrizen sym. ? (oder herm.) ?
Da Du von simultaner Diagonalisierung sprichst, vermute ich, dass es sich um sym. (herm.) Matrizen handelt.
2. Du setzt Matrizen in Funktionen ein. Wie das geht , ist mir bekannt. Nur:
es gibt nicht nur einen Funktionalkalkül !
Also: wie habt Ihr f(A) def. , und welche Funktionen f sind zulässig ?
FRED
2.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 10.05.2012 | | Autor: | eps |
also die matrizen sind in jedem fall positiv definit - müssen sie symmetrisch sein, damit man [mm] A\le [/mm] B sagen kann? dann setze ich auch symmetrisch voraus...
> es gibt nicht nur einen Funktionalkalkül !
>
> Also: wie habt Ihr f(A) def. , und welche Funktionen f sind
> zulässig ?
Mir ist nicht ganz klar, was du damit meinst... [mm] f(A)=A^{1-\alpha}, [/mm] also auf Matrizen bezogen zieht man die Wurzel, indem man diagonalisiert und [mm] A^{1-\alpha}=S^T D_A^{1-\alpha}S [/mm] ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 14.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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