Wurzel, algebraische Axiome? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Hey Leute,
ich sitze hier an einem Übungsblatt, bei welchem man Ungleichungen lösen und gleichzeitig bei jeder Umformung angeben muss, welche der Algebraischen Axiome oder welche daraus resultierende Regel man benutzt hat:
[mm] 5-x^{2} [/mm] < -4
Aus der Regel (2): x<y [mm] \gdw [/mm] x-y<0 folgt:
[mm] 5-x^{2} [/mm] -(-4)<0
zusammengefasst:
[mm] 9-x^{2} [/mm] < 0
Nach Regel (2) folgt:
[mm] 9
Leider hatten wir, soweit ich weiß, keine Regel zum Wurzelziehen hergeleitet.
Laut der Regeln weiß ich, dass [mm] x^{2}=x*x [/mm] > 0 ist.
Aber wie kommm ich von der 9 auf die 3?
Gruß
Paivren
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Habe eine Regel gefunden, die man evtl. verwenden könnte:
(12) Ist 0<x<y, so ist [mm] x^{2}
Ist x>0 und y>0 und ist [mm] x^{2}
Angewendet auf [mm] 9
Ist x>0, so folgt: 3<x
Ist x<0, so folgt -3>x
Kann man das so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Habe eine Regel gefunden, die man evtl. verwenden könnte:
>
> (12) Ist 0<x<y, so ist [mm]x^{2}
> Ist x>0 und y>0 und ist [mm]x^{2}
>
> Angewendet auf [mm]9
> Ist x>0, so folgt: 3<x
> Ist x<0, so folgt -3>x
>
> Kann man das so machen?
nicht ganz. (Oder Du hast eine kleine Rechnung nur unterschlagen?) Die
eine Folgerung ist so direkt absolut okay:
Ist $x > [mm] 0\,,$ [/mm] so folgt wegen $z:=3 > [mm] 0\,$ [/mm] aus [mm] $z^2=3^2=9 [/mm] < [mm] x^2$ [/mm] also $z=3 < [mm] x\,.$
[/mm]
Ist $x < [mm] 0\,,$ [/mm] so ist $-x > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen [mm] $x^2=(-x)^2$ [/mm] gilt dann
[mm] $$3^2=9 [/mm] < [mm] x^2\Rightarrow 3^2=9 [/mm] < [mm] (-x)^2\,,$$
[/mm]
so dass aus Deiner obigen Regel folgt $3 < [mm] -x\,.$ [/mm] Damit kommst Du dann
auch zum Ziel.
Allerdings: Wir haben so nun nur in eine Richtung gefolgert... (also so,
wie ich es aufgeschrieben habe, steht da, dass aus $9 < [mm] x^2$ [/mm] folgt,
dass in notwendiger Weise $x < -3$ oder $3 < x$ gelten muss.
Alleine betrachtet könnte es so ja noch sein, dass es ein $x < -3$ gibt mit [mm] $x^2 \le [/mm] 9$ gibt:
Warum dem aber etwa nicht so ist, folgt wegen des
anderen Teils Deines zitierten Satzes!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Leute,
>
> ich sitze hier an einem Übungsblatt, bei welchem man
> Ungleichungen lösen und gleichzeitig bei jeder Umformung
> angeben muss, welche der Algebraischen Axiome oder welche
> daraus resultierende Regel man benutzt hat:
>
> [mm]5-x^{2}[/mm] < -4
>
> Aus der Regel (2): x<y [mm]\gdw[/mm] x-y<0 folgt:
>
> [mm]5-x^{2}[/mm] -(-4)<0
>
> zusammengefasst:
>
> [mm]9-x^{2}[/mm] < 0
>
> Nach Regel (2) folgt:
>
> [mm]9
>
> Leider hatten wir, soweit ich weiß, keine Regel zum
> Wurzelziehen hergeleitet.
> Laut der Regeln weiß ich, dass [mm]x^{2}=x*x[/mm] > 0 ist.
> Aber wie kommm ich von der 9 auf die 3?
schreibe das Vorletzte nicht so um wie zuletzt, sondern schreibe es zu
$$0 < [mm] x^2-9$$
[/mm]
um (oder arbeite mit [mm] $9-x^2 [/mm] < 0$).
Benutze nun [mm] $x^2-9=(x+3)*(x-3)\,.$ [/mm] (Wenn Du mit [mm] $9-x^2 [/mm] < 0$ arbeiten
möchtest: [mm] $9-x^2=(3+x)*(3-x)\,.$) [/mm] Jetzt habt ihr sicher schon gelernt,
wann ein Produkt zweier Zahlen echt positiv bzw. echt negativ ist:
Wenn beide Faktoren nicht Null sind und wenn ...
bzw. wenn beide Faktoren nicht Null sind und wenn ...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Paivren |
N'abend Marcel, danke für deinen Einsatz^^
Wenn ich dann mit $ [mm] 9-x^2=(3+x)\cdot{}(3-x)\,. [/mm] $ arbeite...
Ein Produkt ist immer dann negativ, wenn einer der beiden Faktoren negativ, und der andere positiv ist.
Soll ich mir jetzt die Werte anschauen, für die die Faktoren positiv, bzw. negativ werden?
x+3<0 für x<-3 dadurch wird aber auch x-3<0, es klappt also nicht.
x-3<0 für x<3
jetzt muss x+3>0 sein, also für x>-3
Mit anderen Worten, das Intervall, für dessen Werte das Produkt kleiner Null wird, liegen zwischen -3 und 3.
Aber dann wäre ja nicht $ [mm] 9-x^2 [/mm] < 0 $, also mach ich wohl was falsch x(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> N'abend Marcel, danke für deinen Einsatz^^
>
> Wenn ich dann mit [mm]9-x^2=(3+x)\cdot{}(3-x)\,.[/mm] arbeite...
>
> Ein Produkt ist immer dann negativ, wenn einer der beiden
> Faktoren negativ, und der andere positiv ist.
>
> Soll ich mir jetzt die Werte anschauen, für die die
> Faktoren positiv, bzw. negativ werden?
ich weiß nicht genau, was Du Dir da überlegt hast, aber:
Es gibt doch zwei theoretisch durchzuspielende Fälle:
1. Fall: Es gelte EINERSEITS $3+x [mm] <0\,$ [/mm] UND AUCH $3-x > [mm] 0\,.$
[/mm]
Hier kommst Du dann zu dem Ergebnis, dass diese beiden
Ungleichungen genau für $x < [mm] -3\,$ [/mm] erfüllt sind...
2. Fall: Es gelte EINERSEITS $3+x [mm] >0\,$ [/mm] UND AUCH $3-x < [mm] 0\,,$
[/mm]
also $x > -3$ UND $x > [mm] 3\,.$ [/mm] Hier kommst Du dann zu dem Ergebnis,
dass diese beiden Ungleichungen genau für $x > [mm] 3\,$ [/mm] erfüllt sind...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:30 Di 23.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Ja, das macht Sinn. So in etwa hatte ich das auch vor, aber war schon spät :S
Vielen Dank für deine Tipps!
Bin gerade im ersten Semester Physik und muss mich noch ein wenig an die ganze neue Mathe gewöhnen, werde vermutlich noch öfter hier posten...
Gruß
René
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Di 23.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Jetzt hab ich doch glatt noch eine Frage:
Darf man die binomischen Formeln denn, ohne sie bewiesen zu haben, verwenden?
Vor allem, ohne Wurzelziehen?
Denn im Endeffekt komme ich ja nur auf die Drei, indem ich aus 9 die Wurzel zieh. Auf dem Papier steht dann kein Wurzelzeichen, aber es ist doch eigentlich dasselbe, oder?
Gruß
Paivren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Di 23.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jetzt hab ich doch glatt noch eine Frage:
>
> Darf man die binomischen Formeln denn, ohne sie bewiesen zu
> haben, verwenden?
> Vor allem, ohne Wurzelziehen?
> Denn im Endeffekt komme ich ja nur auf die Drei, indem ich
> aus 9 die Wurzel zieh. Auf dem Papier steht dann kein
> Wurzelzeichen, aber es ist doch eigentlich dasselbe, oder?
Du brauchst kein Wurzelziehen. Man kann auch einfach [mm] $x^2-9=(x+3)*(x-3)$ [/mm]
beweisen, sogar ohne die binomischen Formeln (die sich übrigens
vom Vorgehen her genau so beweisen lassen - und das ist das, was
man in der Schule mal gelernt hat: Wende das Distributivgesetz an):
[mm] $$(x+3)*(x-3)=(x+3)*x+(x+3)*(-3)=(x*x+3*x)+(x*(-3)+3*(-3))\,.$$
[/mm]
Um nun $x*(-3)=-3x$ schreiben zu dürfen, kann man, wenn man will,
noch ein wenig argumentieren, auch mit Körperaxiomen, wenn man
lustig ist. Das aber jemand [mm] $3*(-3)=-9\,$ [/mm] ausrechnen kann - und selbst,
wenn man da mit Körperaxiomen hantiert, erwartet man wenigstens, dass
jemand [mm] $3*3=9\,$ [/mm] rechnen kann - das wird von jedem erwartet, der
eine Schule besucht und die Zulassung an der Uni erhalten hat.
Benutzt Du das, kommst Du schnell da hin, wo Du hin willst.
Und diese tolle Regel, die man in der Schule etwa so gezeigt bekommt,
wie man zwei zweigliedrige Summen miteinander multipliziert (dabei darf
man wegen Assoziativität der Addition und Komm. sowohl der Addition als
auch der Multiplikation auch hin und her tauschen!)
$$(a+b)*(c+d)=ac+ad+bc+bd$$
beweist man - in irgendeinem Körper - halt etwa so (mach' Dir einfach mal
bei jedem Gleichheitszeichen klar, welche Regel da einfließt):
[mm] $$(a+b)*(c+d)=a*(c+d)+b*(c+d)=(ac+ad)+(bc+bd)=ac+ad+bc+bd\,,$$
[/mm]
wobei die letzte Gleichheit gilt, weil endliche Summen immer assoziativ
sind. (Und da dann jede Klammerung von Summen das gleiche bedeuten
würde, aber die Menge an Klammern alles unübersichtlich machen würde,
läßt man sie halt ganz weg, weil sie eh keinen Einfluß haben!)
(Dass bei der Assoziativität wirklich was passiert, kann man sich auch so
klar machen:
Setze $P: [mm] \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] fest durch die "übliche Addition"
[mm] $P(x,y):=x+y\,.$ [/mm] (Eigentlich wäre sowieso schon $+: [mm] \IR \times \IR \to \IR\,,$ [/mm] aber egal.)
Dann bedeutet $(x+y)+z=x+(y+z)$ nichts anderes als [mm] $P(P(x,y),z)=P(x,P(y,z))\,.$ [/mm]
Wenn wir dieses "Klammernschieben" sehen,
sind wir relativ unkritisch - aber in dieser "Notation mit einer Funktion"
würden wir sofort fragen: "Was heißt das eigentlich"?
Ich finde es in der Notation mit der Funktion eigentlich klarer:
$$P(P(x,y),z)=P(x,P(y,z))$$
bedeutet: Wenn wir zuerst [mm] $y\,$ [/mm] (von rechts) mit [mm] $x\,$ [/mm] addieren und dann
zu diesem Ergebnis das [mm] $z\,$ [/mm] von rechts(!) dazu addieren, dann kommt
das Gleiche raus, wie wenn wir zuerst [mm] $z\,$ [/mm] von rechts an [mm] $y\,$ [/mm] addieren
und dieses Ergebnis dann von rechts an [mm] $x\,$ [/mm] addieren - die "Richtungen"
(links bzw. rechts) hier sind insofern von Bedeutung, als dass wir noch
nicht wissen (wollen), dass [mm] $P(x,y)=P(y,x)\,$ [/mm] auch stets gilt. Aber was
würde das denn eigentlich besagen, wenn wir das behaupten: Welches
Gesetz der Addition ist dann wohl formuliert?)
Also mal kurz (im Körper [mm] $\IR$ [/mm] dürfen wir halt das Distributivgesetz etc.
verwenden, weil es ein Körper ist, und damit macht das, was wir in der
Schule gelernt haben, auch alles Sinn und steht auf einem festen
Fundament):
Dass [mm] $x^2-9=(x+3)*(x-3)$ [/mm] gilt, folgt einfach, weil
[mm] $$(x+3)*(x-3)=x^2+3x-3x-9=x^2+0-9=x^2-9$$
[/mm]
ist.
Und wenn Du nun magst: Beweise mal, dass die 3 - wenigstens in der
Schule - gängigsten binomischen Formeln
[mm] $$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
[/mm]
[mm] $$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
[/mm]
[mm] $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$
[/mm]
in jedem Körper gelten.
Dabei bedeute [mm] $r^2:=r*r$ [/mm] und [mm] $a-b:=a+(-b)\,,$ [/mm] wobei $-b$ das additiv
Inverse zu [mm] $b\,$ [/mm] ist!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Di 23.10.2012 | | Autor: | Paivren |
Das bedeutet, die mathematische Methode des Wurzelziehens ist etwas anderes, als man im Kopf mit der 9 und der 3 macht. Man fragt sich ja nur, welche X mal X 9 ergeben, gell?
Dann werde ich das mal so wie du gesagt hast machen.
Wieder sehr ausführlich und verständlich geantwortet - und auch so schnell! Danke dir :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Di 23.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das bedeutet, die mathematische Methode des Wurzelziehens
> ist etwas anderes, als man im Kopf mit der 9 und der 3
> macht. Man fragt sich ja nur, welche X mal X 9 ergeben,
> gell?
na so grob. Das Wurzelziehen kann man als eine Erweiterung der
Kenntnisse über Quadratzahlen sehen. Und für Quadratzahlen (wir sind
ja hier im Körper [mm] $\IR$ [/mm] - beachte dies!) kannst Du auch schnell
nachrechnen, dass "deren Wurzel" eindeutig ist (wir sagen, dass eine
ganze Zahl die Wurzel einer Quadratzahl sei, wenn das Quadrat der Zahl
eben die Quadratzahl ergibt UND wenn die Zahl nicht echt negativ ist -
kurz: Wurzeln aus Quadratzahlen sind natürliche Zahlen (einschließlich
Null), deren Quadrat die Quadratzahl ergibt - mit solch' einer ersten
minimalen Definition kann man dann schonmal zeigen, dass die Wurzeln
von Quadratzahlen auch eindeutig sind - wobei man das untenstehende
[mm] $\epsilon$ [/mm] bzw. [mm] $\epsilon'$ [/mm] auch spezieller eingrenzen könnte!):
Zeige einfach: Ist [mm] $q\,$ [/mm] eine Quadratzahl, d.h. es existiert ein $n [mm] \in \IN_0$
[/mm]
mit [mm] $q=n^2\,,$ [/mm] so gilt für jedes $0 < [mm] \epsilon \le [/mm] n $ und $0 < [mm] \epsilon'$ [/mm]
sowohl
[mm] $$(n-\epsilon)^2 [/mm] < [mm] q=n^2$$
[/mm]
als auch
[mm] $$(n+\epsilon')^2 [/mm] > [mm] q=n^2\,.$$
[/mm]
Und da man Wurzeln defininiert als Zahlen [mm] $\ge 0\,,$ [/mm] deren Quadrat eben
...
Aber generell ist das Wurzelziehen schon etwas komplizierteres, aber
dabei ist eigentlich die Existenz das Problem:
In [mm] $\IR$ [/mm] geht da etwa sowas wie die Vollständigkeit ein, und [mm] $\IC$
[/mm]
ist ja nun wieder ein Körper, der [mm] $\IR$ [/mm] enthält etc. pp.
Und hier rechnen wir ja nur in [mm] $\IR\,.$
[/mm]
> Dann werde ich das mal so wie du gesagt hast machen.
>
> Wieder sehr ausführlich und verständlich geantwortet -
> und auch so schnell! Danke dir :)
Gerne!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Di 23.10.2012 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Weil ich's eben übersehen habe: Dass [mm] $x=3\,$ [/mm] sogar die einzige
nichtnegative reelle Zahl mit [mm] $x^2=9$ [/mm] ist, folgt ja eben aus der
binomischen Formel:
Wenn [mm] $x^2=9=x'^2$ [/mm] mit einem weiteren $x' [mm] \ge [/mm] 0$ ist, dann folgt aus
[mm] $$0=x^2-x'^2=(x+x')*(x-x')$$
[/mm]
sofort [mm] $x=x'\,.$ [/mm] Man könnte dies auch so hinschreiben
$$0=x'^2-9=(x'+3)*(x'-3)$$
liefert [mm] $x'=3=x\,.$
[/mm]
Hierbei benutzt Du aber das Wissen, dass [mm] $3*3=9\,$ [/mm] ist und auch die
Ordnung in [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Denn natürlich ist man symbolisch erstmal dazu geneigt, auch zu sagen:
[mm] $$x^2=5 \gdw (x+\sqrt{5})*(x-\sqrt{5})\,,$$
[/mm]
aber wer sagt dann, dass es eine Zahl [mm] $\sqrt{5} \in \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit
[mm] $\sqrt{5}^2=5$ [/mm] überhaupt gibt? Ich meine, man kann ja auch schreiben,
dass man für $q [mm] \in \IQ_{\ge 0}$ [/mm] gerne das [mm] $q\,$ [/mm] so hätte, dass
[mm] $$q^2=5\,$$
[/mm]
gilt - so eines wird's aber nicht geben können...
Es muss also einen Grund geben, warum es sowas in [mm] $\IR$ [/mm] gibt, in [mm] $\IQ \subseteq \IR$
[/mm]
aber nicht...
Gruß,
Marcel
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