Wurm auf Gummiband (Folge) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Di 31.05.2005 | | Autor: | mimi94 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo!!!
Ich habe hier eine kleine Knobelaufabe, vielleicht kommt ihr ja hier weiter.
Ein unsterblicher Wurm will auf einem 100m langen (unendl. elastischen) Gummiband von einem Ende zum anderen kriechen. Er schafft jeden Tag 1m, während in der Nacht (da ruht der Wurm) das Band um jeweils 100m gedehnt wird.
Erreicht der Wurm in endlicher Zeit sein Ziel???
Ich denke es hat etwas mit Folgen zu tun, da dies unser Thema zur Zeit ist.
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Hallo mimi94.
Die Sache kann so nicht ganz hinhauen.
Wenn der Wurm jeden Tag nur einen Meter schafft, und das Band jede Nacht um 100 Meter gedehnt wird, dann entfernt sich das Ziel schneller von dem Wurm, als er sich darauf zu bewegt. Ergo, er erricht das Ziel nie.
Die Sache geht nur dann gut, wenn der Wurm pro Tag A Meter schafft, und das Band pro Nacht um B Meter gedehnt wird, mit A>B. (Beziehungsweise, wenn A bereits größer als die ursprüngliche Distanz ist. Dann erreicht er trivialerweise noch am ersten Tag sein Ziel.)
Liebe Grüße,
Holy Diver
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Hi, Mimi,
jetzt werden sogar schon die Würmer ver...scht!
> Ein unsterblicher Wurm will auf einem 100m langen (unendl.
> elastischen) Gummiband von einem Ende zum anderen kriechen.
> Er schafft jeden Tag 1m, während in der Nacht (da ruht der
> Wurm) das Band um jeweils 100m gedehnt wird.
> Erreicht der Wurm in endlicher Zeit sein Ziel???
> Ich denke es hat etwas mit Folgen zu tun, da dies unser
> Thema zur Zeit ist.
Das mit den Folgen stimmt; letztlich wird's sogar eine "Reihe" sein.
Also: Zunächst schafft der Wurm 1m von 100m, das ist [mm] \bruch{1}{100} [/mm] der Gesamtlänge: [mm] a_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{100}. [/mm]
(Bei diesem Bruchteil bleibt's auch dann, wenn das Band um 100m gedehnt wird, weil der Meter dann ja auf 2m mitgedehnt wird!)
Dann wird das Band gedehnt. Der Wurm schafft wieder nur 1m, diesmal aber von 200m; das ist [mm] \bruch{1}{200} [/mm] der (jetzigen) Gesamtlänge:
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{200}.
[/mm]
Und so geht das nun weiter. Bei der n-ten Dehnung kommt folgender Bruchteil heraus:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{100n}.
[/mm]
Nun bilden wir die Summe der Einzelstrecken:
[mm] s_{n} [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] + [mm] a_{2} [/mm] + ... [mm] +a_{n}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{100i}= [/mm]
= [mm] \bruch{1}{100}*\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i}
[/mm]
Der 2. Faktor ist die "harmonische Reihe". Diese geht für n [mm] \to \infty [/mm] selbst gegen [mm] \infty. [/mm] Das heißt: Es gibt sicher eine Zahl n, für die der Reihenwert größer ist als 100. Dann hat der Wurm sein Ziel erreicht.
(Das n zu berechnen hab' ich allerdings nicht geschafft!)
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