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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Di 09.02.2010 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | Zwei Würfel (ein roter und ein blauer) werden n-Mal unabhängig geworfen, [mm] n\inIN. [/mm] Geben Sie ein diskretets Modell [mm] (\Omega, [/mm] P) an, stellen Sie die folgenden Ereignisse als Teilmengen von [mm] \Omega [/mm] dar, und berechnen Sie die W'keit dieser Ereignisse.
a) im letzten Wurfe wird eine Doppelsechs geworfen.
b) bei mind einem Wurf sind beide Augenzahlen ungerade.
c) spätestens im k-ten Wurf sind beide Augenzahlen verschiedenen, 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] n |
Als Modell für [mm] \Omega [/mm] hatte ich mir überlegt:
[mm] \Omega=\{ \omega=(\omega_{1},...,\omega_{n})| \omega_{i,j}\in\{1,...6\} \ \forall 1\le i,j \le n \ \omega_{i}\in rot \ \omega_{j} \in blau\}
[/mm]
Ist [mm] |\Omega|= 6^{2n}?
[/mm]
kann man a) so verstehen, dass mindestens einmal Doppelsechs geworfen wird? Dann wäre die W'keit doch:
[mm] 1-(\bruch{35}{36}^{n}), [/mm] oder?
zu b) Die W'keit dafür, dass beide Augenzahlen ungerade sind ist doch [mm] \bruch{9}{36}=\bruch{1}{4}. [/mm] Aber wie mach ich da jetzt weiter, ich komm irgendwie damit durcheinander, dass ich ja mit 2 Würfeln werfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Zwei Würfel (ein roter und ein blauer) werden n-Mal
> unabhängig geworfen, [mm]n\inIN.[/mm] Geben Sie ein diskretets
> Modell [mm](\Omega,[/mm] P) an, stellen Sie die folgenden Ereignisse
> als Teilmengen von [mm]\Omega[/mm] dar, und berechnen Sie die W'keit
> dieser Ereignisse.
> a) im letzten Wurfe wird eine Doppelsechs geworfen.
> b) bei mind einem Wurf sind beide Augenzahlen ungerade.
> c) spätestens im k-ten Wurf sind beide Augenzahlen
> verschiedenen, 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] n
> Als Modell für [mm]\Omega[/mm] hatte ich mir überlegt:
> [mm]\Omega=\{ \omega=(\omega_{1},...,\omega_{n})| \omega_{i,j}\in\{1,...6\} \ \forall 1\le i,j \le n \ \omega_{i}\in rot \ \omega_{j} \in blau\}[/mm]
>
> Ist [mm]|\Omega|= 6^{2n}?[/mm]
>
> kann man a) so verstehen, dass mindestens einmal
> Doppelsechs geworfen wird? Dann wäre die W'keit doch:
> [mm]1-(\bruch{35}{36}^{n}),[/mm] oder?
Nein, deine Lesekompetenz scheint nicht so besonders zu sein.
Da steht "IM LETZTEN WURF"!
Die Wahrscheinlichkeit, dass da eine Doppelsechs kommt, ist 1/36.
>
> zu b) Die W'keit dafür, dass beide Augenzahlen ungerade
> sind ist doch [mm]\bruch{9}{36}=\bruch{1}{4}.[/mm] Aber wie mach ich
> da jetzt weiter, ich komm irgendwie damit durcheinander,
> dass ich ja mit 2 Würfeln werfe.
>
Gegenereignis: in keinem der n Doppelwürfe sind beide ungerade:
Die Wahrscheinlichkeit dafür ist in jedem der n Doppelwürfe (3/4), insgesamt also [mm] (3/4)^n.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 09.02.2010 | | Autor: | elba |
Danke schön.
Wie sieht das jetzt bei c) aus. Ist die W'keit dafür, dass beide Augenzahlen verschieden sind: [mm] \bruch{30}{36}=\bruch{5}{6} [/mm] ?
Und das sie nicht verschieden sind [mm] \bruch{6}{36}=\bruch{1}{6} [/mm] ?
Dann ist die W'keit bis zum (k-1). Wurf nicht verschiedene Augenzahlen zu werfen: [mm] (\bruch{1}{6})^{k-1} [/mm] ??
Dann hätte ich: [mm] (\bruch{1}{6})^{k-1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6}.
[/mm]
Aber ich glaube das behandelt nicht wirklich dieses "spätestens"...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Di 09.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke schön.
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> Wie sieht das jetzt bei c) aus. Ist die W'keit dafür, dass
> beide Augenzahlen verschieden sind:
> [mm]\bruch{30}{36}=\bruch{5}{6}[/mm] ?
> Und das sie nicht verschieden sind
> [mm]\bruch{6}{36}=\bruch{1}{6}[/mm] ?
> Dann ist die W'keit bis zum (k-1). Wurf nicht verschiedene
> Augenzahlen zu werfen: [mm](\bruch{1}{6})^{k-1}[/mm] ??
> Dann hätte ich: [mm](\bruch{1}{6})^{k-1}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}.[/mm]
> Aber ich glaube das behandelt nicht wirklich dieses
> "spätestens"...
"Spätestens" heißt, es kann auch schon eher passieren.
Auch hier sollte man über das Gegenereignis gehen. Es lautet sinngemäß: "In den ersten k Versuchen waren die Augenzahlen nicht verschieden".
Das GEGENereignis hat also die Wahrscheinlichkeit [mm] (1/6)^k.
[/mm]
Gruß Abakus
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