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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Mo 02.04.2012 | | Autor: | Schapka |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach achtmaligem Würfeln mindestens zwei Mal die Sechs und vier Mal die Eins gewürfelt wurde. |
Diese nette kleine Aufgabe macht mich fertig! :D
Also die W'keit für die einzelnen Sechsen und Einsen sind jeweils [mm] \bruch{1}{6} [/mm] d.h. ich habe
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
So dann habe ich noch 2 Würfe übrig bei denen es egal ist welche von den 6 Ziffern eines Würfels ich erhalte also [mm] 6*\bruch{1}{6} [/mm] = 1 für jeden Wurf
[mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * [mm] \bruch{1}{6} [/mm] * 1 * 1
Jetzt ist nicht nach einer Reihenfolge gefragt, somit sind die Würfe untereinander austauschbar
Für die 2 Sechsen und die 4 Einsen habe ich mindestens 6 Möglichkeiten aus den 8 Würfen etwas zu erhalten:
[mm] {8\choose6}
[/mm]
dann habe ich für die beiden anderen Würfe doch
[mm] {2\choose1} [/mm] und [mm] {1\choose1} [/mm] übrig oder sind es [mm] {2\choose2}? [/mm]
Und das dann alles miteinander multiplizieren...
Bräuchte dringend Hilfe ^^!
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Hallo,
das ist kein Problem, bei dem man irgendwelche Einzelwahrscheinlichkeiten finden muss. Es ist ein Zählproblem, denn man löst es mit dem Ansatz (Anzahl der günstigen Fälle)/(Anzahl der möglichen Fälle).
Zunächst ein Hinweis: wenn in einer solchen Aufgabe eines der Worte mindestens oder höchstens vorkommt, dann empfihlt es sich stets, über die Verwendung des Komplementärereignisses wenigstens nachzudenken.
Aber: die Aufgabe ist unsauber formuliert, und bevor man sich hier eventuell stundenlang den Kopf zerbricht, würde ich dich bitten folgendes zu klären: bezieht sich das Wort mindestens nur auf die Sechsen oder auch auf die vier Einsen?
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Di 03.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Schapka,
ich weiß nicht, welche Vorkenntnisse in Stochastik du hast; ich versuche mal möglichst wenig vorauszusetzen.
> Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass nach
> achtmaligem Würfeln mindestens zwei Mal die Sechs und vier
> Mal die Eins gewürfelt wurde.
Ich gehe mal davon aus, dass "mindestens zwei Mal die Sechs und mindestens vier Mal die Eins" gemeint ist.
> Also die W'keit für die einzelnen Sechsen und Einsen sind
> jeweils [mm]\bruch{1}{6}[/mm] d.h. ich habe
>
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> So dann habe ich noch 2 Würfe übrig bei denen es egal ist
> welche von den 6 Ziffern eines Würfels ich erhalte also
> [mm]6*\bruch{1}{6}[/mm] = 1 für jeden Wurf
>
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * [mm]\bruch{1}{6}[/mm] * 1 * 1
Problem bei diesem Ansatz: Du berechnest die Wahrscheinlichkeit, beispielsweise in den ersten sechs Würfen erst zwei Sechsen, dann vier Einsen zu würfeln. Oder beispielsweise in den letzten Sechs Würfen erst vier Einsen und dann zwei Sechsen zu würfeln. Diese Ereignisse sind jedoch nicht disjunkt; wenn du die Wahrscheinlichkeiten aufaddierst, hast du sozusagen gewisse Wahrscheinlichkeiten doppelt mit eingerechnet.
Wie von Diophant geschrieben, ist es am übersichtlichsten, die Anzahl der günstigen "Würfelkombinationen" durch die Anzahl aller möglichen "Würfelkombinationen" zu teilen. Dies liefert das korrekte Ergebnis, da ein Laplace-Experiment (alle "Würfelkombinationen" gleich wahrscheinlich) vorliegt.
Die Anzahl der "Würfelkombinationen" mit mindestens zwei Sechsen und mindestens vier Einsen zu bestimmen, erscheint mir gar nicht mal so einfach. Die einfachste Möglichkeit, die ich gefunden habe: Bestimme getrennt die Anzahl der "Würfelkombinationen" mit:
- genau zwei Sechsen und genau vier Einsen
- genau zwei Sechsen und genau fünf Einsen
- genau zwei Sechsen und genau sechs Einsen
- genau drei Sechsen und genau vier Einsen
- genau drei Sechsen und genau fünf Einsen
- genau vier Sechsen und genau vier Einsen
und addiere alle erhaltenen Werte auf.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Di 03.04.2012 | | Autor: | Schapka |
Vielen lieben Dank für die schnelle Antwort, das Problem ist einfach dass die Aufgabe uns so gestellt wurde und ich die eins-zu-eins so übertragen habe. Daher weiß ich auch nicht ob sich das mindestens nur auf die Sechsen bezieht ^^ Ärgerlich!
Aber ich probiere das mal aus mit den Wahrscheinlichkeiten
- genau zwei Sechsen und genau vier Einsen
- genau zwei Sechsen und genau fünf Einsen
- genau zwei Sechsen und genau sechs Einsen
- genau drei Sechsen und genau vier Einsen
- genau drei Sechsen und genau fünf Einsen
- genau vier Sechsen und genau vier Einsen
Und schau was rauskommt. DANKE!
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