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| Aufgabe | Nr. 3
c) Ähnlich wie beim Pokern mit Spielkarten kann man die Augenzahlen von 5 aufeinander folgenden Würfen zu einem Bild zusammenfassen (dabei kommt es nicht auf die Reihenfolge an, in der die einzelnen Ergebnisse aufgetreten sind).
Mögliche Bilder sind:
one pair z.B.: 2,2,1,4,6 $P(one \ [mm] pair)=\frac{{5 \choose 2}*6*5*4*3}{6^5}=46,30$ [/mm] %
two pairs z.B.: 3,3,4,4,1 $P(two\ [mm] pairs)=\frac{{5 \choose 2}*{3 \choose 2}*{6 \choose 2}*4}{6^5}=23,15$ [/mm] %
three of a kind z.B.: 1,1,1,2,4 $P(three \ of \ a\ [mm] kind)=\frac{{5 \choose 3}*6*5*4}{6^5}=15,43$ [/mm] %
Full house z.B.: 1,1,1,4,4 $P(Full \ house)=3,85$ %
Straight z.B.: 1,2,3,4,5 $P(Straight)=3,09$ %
Four of a kind z.B.: 3,3,3,3,4 $P(Four \ of \ a \ kind)=1,93$ %
Five of a kind z.B.: 2,2,2,2,2 $P(Five \ of \ a \ kind)=0,08$ %
ohne Besonderheit z.B.: 1,3,4,5,6 $P(ohne \ Besonderheit)=6,17$ %
(1) Erläutere die Wahrscheinlichkeitsberechnung der ersten drei Bilder. |
Hallo,
die Wahrscheinlichkeitsberechnungen von one pair und three of a kind verstehe ich:
one pair
$P(one \ [mm] pair)=\frac{6*1*5*4*3}{6^5}*\frac{5!}{2!*3!}=46,30$ [/mm] %
Für den ersten Wurf hat man 6 Möglichkeiten; der 2. Wurf ist mit der Augenzahl des ersten identisch: nur eine Möglichkeit; für den 3. Wurf hat man dann noch 5 Mögliche, für den 4. Wurf 4 Mögliche, für den 5. Wurf noch 3 Mögliche Augenzahlen.
Dann hat man noch die Permutation von 5 Elementen, von denen 2 identisch sind und 3 nicht-identisch sind.
three of a kind
$P(three \ of \ a\ [mm] kind)=\frac{6*1*1*5*4}{6^5}*\frac{5!}{3!*2!}=15,43$ [/mm] %
Die Begründung ist die gleiche wie bei one pair.
two pairs
Hier liegt mein Problem:
$P(two\ [mm] pairs)=\frac{6*1*5*1*4}{6^5}*\frac{5!}{2!*2!*1!}=46,30$ [/mm] %
Diese WS ist um den Faktor 2 zu groß (Argumentation wie oben).
Richtig ist:
$P(two\ [mm] pairs)=\frac{6*1*5*1*4}{6^5}*\frac{5!}{2!*2!*1!}*\frac{1}{2}=23,15$ [/mm] %
Könnte mir vielleicht jemand den Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] verständlich erklären?
Vielen Dank im voraus,
Martinius
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> one pair z.B.: 2,2,1,4,6 [mm]P(one \ pair)=\frac{{5 \choose 2}*6*5*4*3}{6^5}=46,30[/mm]
> %
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> two pairs z.B.: 3,3,4,4,1 [mm]P(two\ pairs)=\frac{{5 \choose 2}*{3 \choose 2}*{6 \choose 2}*4}{6^5}=23,15[/mm]
> %
>
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> three of a kind z.B.: 1,1,1,2,4 [mm]P(three \ of \ a\ kind)=\frac{{5 \choose 3}*6*5*4}{6^5}=15,43[/mm]
Hallo Martinius,
es scheint, dass deine Rechnungen einem anderen Pfad als
dem folgen, der durch die vorgegebenen Antworten aufgezeigt
wird. Ich denke, dass es aber sinnvoll ist, dem vorgezeigten
Weg zu folgen.
Beispiel two pairs:
Als gesamte Anzahl Möglichkeiten (Nenner) steht die Anzahl [mm] 6^5 [/mm]
aller geordneten Folgen von Würfelzahlen der Länge 5 .
Im Zähler muss also die Anzahl derartiger Folgen stehen, bei
welchen genau zwei Zahlen doppelt und eine weitere Zahl einfach
auftritt. Der Faktor [mm] \pmat{5\\2} [/mm] steht für die Anzahl der Auswahlmög-
lichkeiten von zwei (aus 5) möglichen Stellen, an denen ein
erstes Paar gleicher Zahlen stehen soll. Der zweite Faktor
[mm] \pmat{3\\2} [/mm] gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus den drei
verbliebenen Stellen zwei für das zweite Paar auszuwählen.
Die Stelle, an welcher die "einsame" Ziffer stehen muss, ist
damit natürlich mit bestimmt. Nun kommt noch die Belegung
des ersten und des zweiten Paares und der "einsamen" Ziffer
mit Zahlenwerten. Die Anzahl der Möglichkeiten, zwei aus 6
möglichen Ziffern zur Belegung der zwei Paare zu wählen, ist
gleich [mm] \pmat{6\\2}. [/mm] Das "erste" Paar wird z.B. mit der kleineren,
das "zweite" Paar mit der größeren dieser beiden Zahlen belegt.
Für die "einsame" Ziffer bleiben 4 Werte zur Wahl.
Insgesamt kommen wir also auf den Zähler [mm] \pmat{5\\2}*\pmat{3\\2}*\pmat{6\\2}*4
[/mm]
und insgesamt auf die Wahrscheinlichkeit
P(two pairs) = $\ [mm] \frac{\pmat{5\\2}*\pmat{3\\2}*\pmat{6\\2}*4}{6^5}\ \approx\ [/mm] 0.23148...$
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Fr 22.10.2010 | | Autor: | Martinius |
Hallo Al-Chwarizmi,
besten Dank für deinen Hinweis. Ich habe two pairs jetzt auseinanderknobeln können.
LG, Martinius
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also das mit (2 aus 6) hab ich schon verstanden, ist ja logisch, aber wieso ist das bei der anderen rechnung mal 1/2?
kann mir das jemand erklären?
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> also das mit (2 aus 6) hab ich schon verstanden, ist ja
> logisch, aber wieso ist das bei der anderen rechnung mal
> 1/2?
>
> kann mir das jemand erklären?
Hallo Peter,
du beziehst dich auf die Art und Weise, wie Martinius
die Wahrscheinlichkeit für "two pairs" berechnet hat:
$ P(two\ [mm] pairs)=\frac{6\cdot{}1\cdot{}5\cdot{}1\cdot{}4}{6^5}\cdot{}\frac{5!}{2!\cdot{}2!\cdot{}1!}=46,30$%
[/mm]
(diese Formel ist falsch; es fehlt ein Faktor [mm] \frac{1}{2} [/mm] !)
Betrachten wir den ersten Zähler: $\ 6*1*5*1*4$
Der erste Faktor 6 steht dafür, dass für die erste
doppelt vorkommende Zahl 6 Möglichkeiten zur
Verfügung stehen. Der dann folgende Faktor 1
besagt, dass dann der "Partner" dieser Zahl eindeutig
bestimmt ist (keine Auswahl). Der Faktor 5 besagt,
dass dann für die zweite doppelt auftretende
Zahl nur noch die 5 anderen Würfelzahlen in Frage
kommen. Faktor 1: wieder die "Partnerzahl" im 2. Paar
eindeutig bestimmt. Der nachfolgende Faktor 4 steht
dafür, dass für die einzelne noch zu den zwei Paaren
hinzutretende Zahl noch 6-2=4 Möglichkeiten offen
stehen.
Dass man diese Anzahl halbieren muss, liegt daran,
dass wir bei dieser Betrachtung zwischen einem ersten
und einem zweiten Paar unterschieden haben.
Diese Reihenfolge ist aber unerheblich, da wir das
gleiche "two-pair" erhalten, wenn etwa nach der
Reihe die Zahlen 5-5-2-2-6 kommen oder aber
2-2-5-5-6 .
Den Rest der Formel hast du ja wohl begriffen.
LG Al-Chwarizmi
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