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| Aufgabe | Jemand wirft einen Würfel dreimal nacheinander. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält er oder sie eine
(a) strenge monoton wachsende
(b) monoton wachsende
Augenzahlenfolge? Lösen Sie das Problem ohne Abzählen aller Möglichkeiten! |
Hi,
die obige Aufgabe (1. Aufgabenblatt der Vorlesung Stochastik) kann ich leider ohne das Abzählen aller Möglichkeiten nicht lösen. Welchen "Trick" muss ich denn da anwenden?
Ich danke Euch allen für die Hilfe!
Gruß
Johannes
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> Die Aufgabe kann ich leider ohne das Abzählen aller Möglichkeiten
> nicht lösen. Welchen "Trick" muss ich denn da anwenden?
Es gibt insgesamt 6*6*6 = 216 Möglichkeiten
Streng monoton sind davon:
1 + (2+1) + (3+2+1) + (4+3+2+1) = 20 Möglichkeiten
Also ist die Wahrscheinlichkeit: [mm] \bruch{20}{216} \approx [/mm] 0.0926
P.S.
Wieso 1 + (2+1) + (3+2+1) + (4+3+2+1) ?
1: Die erste Zahl ist eine Vier = Dann MUSS die zweite eine Fünf und die dritte eine Sechs sein
(2+1) : Die erste Zahl ist eine Drei = Dann muss die zweite entweder eine Vier oder eine Fünf sein. Wenn sie eine Vier ist, dann muss die dritte eine Fünf oder Sechs sein. Ist die zweite Zahl eine Fünf, dann muss die dritte eine Sechs sein...
Und so weiter.
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Danke für die Tipps. Ich bin auch auf die Ergebnisse gekommen:
a) P = 20/(6*6*6)
b) P = 56/(6*6*6) [Editiert  ]
Nun soll ich verallgemeinern:
Der Würfel wird n-mal nacheinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man dann eine monoton wachsende Folge?
Danke für die Hilfe!
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Hallo Jo.Hannes,
editiert gefällt mir das schon viel besser.
Hier die 20 Ergebnisse aus a):
456
345
346
356
234
235
236
245
246
256
123
124
125
126
134
135
136
145
146
156
Jetzt brauchst Du nur noch eine allgemeine Formel.
Bei 1 Würfel gibt es 6 Lösungen, bei 2 Würfeln 15 Lösungen, bei 3 Würfeln 20 Lösungen, bei 4 Würfeln 15 Lösungen, bei 5 Würfeln 6 Lösungen und bei 6 Würfeln 1 Lösung. Bei mehr als 6 Würfeln gibt es keine Lösung mehr. Kommt Dir eine solche Verteilung bekannt vor?
Und wie bist Du auf die 56 gekommen? Hier wird die allgemeine Lösung etwas schwieriger, weil ja auch bei beliebig vielen Würfeln noch Lösungen existieren, sogar immer mehr...
Grüße
reverend
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Kann es sein, dass man die Wahrscheinlichkeit über
p = [mm] \bruch{\vektor{6+k-1 \\ k} }{6^n} [/mm] berechnet?
Wenn ja, warum ist das so? Ich habe das nur so ausprobiert!
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Hallo nochmal,
das sieht gut aus.
Es ist aber die Lösung zu Aufgabe b).
Zur Herleitung ist es am einfachsten, Du fängst nicht mit einem Würfel an, sondern mit einem Zufallszahlengenerator, der Zahlen von 1 bis n mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgibt.
Für n=1 ist das Ergebnis ja noch nicht so spannend und spricht auch nicht wirklich für einen Binomialkoeffizienten.
Für n=2 gibt es bei k Würfen genau k+1 Möglichkeiten, eine monoton steigende Folge zu erhalten. Das ist noch leicht zu ermitteln.
Hast Du eine Idee, wie man aus der Formel für ein gegebenes n die für n+1 herleitet? Dann wärst Du ja schon fertig. Wenn nein, musst Du den mühsamen Weg gehen und die vermutete Formel per Induktion über k beweisen:
[mm] p=\bruch{1}{n^k}\vektor{n+k-1\\k}
[/mm]
Grüße
reverend
PS: Fehlt noch eine allgemeine Lösung zu a) Auch die ist vielleicht leichter zu finden, wenn Du statt einem Würfel ebenfalls so einen Zufallszahlengenerator annimmst.
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