Wortmetrik "coarsely geodesic" < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 12:30 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Gnometech |
Gruss an alle!
Mich interessiert, ob ich in folgender Überlegung einen Denkfehler habe. Zunächst die Definitionen:
Ist $(Y,d)$ ein metrischer Raum, so heißt dieser (bzw. die Metrik auf der Menge) "grob geodätisch", falls es eine reelle Zahl $C > 0$ gibt derart, dass für alle Punkte $x,y [mm] \in [/mm] Y$ eine Abbildung [mm] $\gamma: [/mm] [0,T] [mm] \to [/mm] Y$ existiert (ACHTUNG: nicht zwingend stetig!) mit [mm] $\gamma(0) [/mm] = x$ und [mm] $\gamma(T) [/mm] = y$, so dass für $s,t [mm] \in [/mm] [0,T]$ gilt:
[mm] $\big| d\big(\gamma(s),\gamma(t)\big) [/mm] - |s - t| [mm] \big| \leq [/mm] C$
In Worten: [mm] $\gamma$ [/mm] ist eine isometrische Einbettung des Intervalls, allerdings wird ein additiver Fehler $C$ zugelassen. (Daher "grob".)
Ist nun $G$ eine Gruppe und $X$ ein Erzeugendensystem von $G$, so definiert man die Wortmetrik auf $G$ wie folgt: Jedes $g [mm] \in [/mm] G$ lässt sich als Produkt von Erzeugern schreiben. Nehme die kleinstmögliche Länge all dieser Worte in $X$ als Länge [mm] $|g|_X$ [/mm] von $g$, also
[mm] $|g|_X [/mm] := [mm] \inf \{r \in \IN_0 : g = x_1 \circ x_2 \circ \cdots \circ x_r : x_i \in X \cup X^{-1} \}$
[/mm]
Die Definition [mm] $d_X(g,h) [/mm] := [mm] |g^{-1}h|_X$ [/mm] liefert dann eine Metrik auf $G$, die sogenannte Wortmetrik.
Frage: ist diese grob geodätisch?
Meine Überlegung hierzu: die Metrik ist nach Konstruktion invariant unter der Gruppenwirkung durch Multiplikation von links. Daher genügt es, die Bedingung für Paare $(e,g)$ nachzuweisen, wobei $e$ das Einselement mit Länge 0 ist.
Ist $g [mm] \in [/mm] G$ beliebig mit [mm] $|g|_X [/mm] = n$, dann lässt sich $g$ schreiben als $g = g_! [mm] \circ g_2 \circ \cdots \circ g_n$ [/mm] mit [mm] $g_i \in [/mm] X [mm] \cup X^{-1}$. [/mm] Definiere dann [mm] $\gamma: [/mm] [0,n] [mm] \to [/mm] G$ durch
[mm] $\gamma(0) [/mm] = e$
[mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] g_1 \circ \cdots \circ g_r$, [/mm] wobei $r = [mm] \lceil [/mm] t [mm] \rceil$.
[/mm]
Es folgt [mm] $\gamma(n) [/mm] = g$ durch Konstruktion und die Bedingung sollte für $C = 1$ erfüllt sein, wenn ich nicht total danebenliege.
Ideen oder Kommentare? Auf jeden Fall danke fürs Lesen!
Liebe Grüsse,
Lars
|
|
|
