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Hallo...
es geht um den Faktormodul $M/N$ über $A$. Und zwar möchte ich zeigen, dass die Multilpikation mit Skalaren, als folgende Abbildung:
$A [mm] \times [/mm] M/N [mm] \rightarrow [/mm] M/N$
$(a,m+N) [mm] \mapsto [/mm] am+N $
wohldefiniert ist.
Ich habe mir mal ein paar andere Wohldefiniertheitssachen angeguckt und demnach muss man wohl folgendermaßen anfangen: Aus
$m+N = m'+N$ folgt:
$m=m'+n$ mit $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Aber weiter komme ich einfach nicht!
viele Grüße, dancingstrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo dancingestrella!
Dann bist du doch fast schon fertig... 
$am + N = a(m'+n) + N = am' + [mm] \underbrace{a\overbrace{n}^{\in N}}_{\in N} [/mm] + N = am' + N$.
Liebe Grüße
Stefan
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Hi Stefan...
$am + N = a(m'+n) + N $ ist klar
$= am' + [mm] \underbrace{a\overbrace{n}^{\in N}}_{\in N} [/mm] + N$ ist auch klar... $= am' + N$ mit folgenden Begründungen?
(1) $an [mm] \in [/mm] N$ da N ein Untermodul von M ist. Also auch ein Modul mit den induzierten Verknüpfungen und insbesondere mit $A [mm] \times [/mm] N [mm] \rightarrow [/mm] N$, oder?
(2) $an + N = N$, weil N additive Untergruppe ist?
Aber irgendwie ist mir der Sinn bei der Wohldefiniertheit noch unklar... kann man das an einem Beispiel erklären?
Außerdem verstehe ich eben diesen Ansatz:
"Gilt etwa: m+N=m'+N" nicht. Was bezwecken wir damit???
viele Grüße, dancingestrella
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> [...]Aber irgendwie ist mir der Sinn bei der Wohldefiniertheit
> noch unklar... kann man das an einem Beispiel erklären?
> Außerdem verstehe ich eben diesen Ansatz:
> "Gilt etwa: m+N=m'+N" nicht. Was bezwecken wir damit???
Guten Morgen, dancingestrella,
bei der Wohldefiniertheit geht es darum, daß zu zwei verschiedenen Repräsentanten einer Nebenklasse derselbe Funktionswert gehören muß. Das wäre ja sonst eine miese Funktion - nämlich KEINE Funktion!
Und genau daher kommt der Ansatz m+N=m'+N : man nimmt sich zwei Repräsentanten einer Nebenklasse her, setzt sie in die zu untersuchende Abbildung ein und zeigt, daß sie denselben Wert liefern.
Gruß v. Angela
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