Wktverteilung für Pros :-) < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 So 03.09.2006 | | Autor: | dth100 |
| Aufgabe | Unter den 131 Schüern einer Jahrgangsstufe befinden sich 22 Schüler, die einen Mathematik-Leistungskurs gewählt haben. Auf dem Schulhof werden zehn zufällig ausgewählte Schüler dieser Jahrgangsstufe nach Ihren Leistungskursen befragt. Sei X die Anzahl der Schüler mit Mathematik Leistungskurs unter den Befragten. Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X
a) exakt,
b) durch Approximation mit Hilfe der Binomialverteilung.
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Hallo liebe Vorhelfer  ich komm mal wieder mit ner Stochastikaufgabe nicht klar, und zweifel langsam obs dafür überhaupt einen sinnvollen Lösungsweg gibt. Aber falls ihn doch jemand erkennt, büdde helft mir :-(
Ich hab sogar die Lösung, brauch nur den Rechenweg. Klar kann ichs theoretisch mit einem 10stufigen Baumdiagramm lösen aber das ist hoffentlich nicht Sinn der Sache. b) ist ja kein Problem mit n über k aber aufgabe a) exakt???
Naja, vielleicht hat ja jemand hier Ahnung davon )
Danke schonmal
a)
k P ( X=k )
0 14,78 %
1 32,52 %
2 30,43 %
3 15,91 %
4 5,14 %
5 1,07 %
6 0,14 %
7 0,01 %
8 0,00 %
9 0,00 %
10 0,00 %
b)
k P ( X=k )
0 15,91 %
1 32,10 %
2 29,16 %
3 15,69 %
4 5,54 %
5 1,34 %
6 0,23 %
7 0,03 %
8 0,00 %
9 0,00 %
10 0,00 %
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 So 03.09.2006 | | Autor: | Disap |
Moin.
> Unter den 131 Schüern einer Jahrgangsstufe befinden sich 22
> Schüler, die einen Mathematik-Leistungskurs gewählt haben.
> Auf dem Schulhof werden zehn zufällig ausgewählte Schüler
> dieser Jahrgangsstufe nach Ihren Leistungskursen befragt.
> Sei X die Anzahl der Schüler mit Mathematik Leistungskurs
> unter den Befragten. Bestimme die
> Wahrscheinlichkeitsverteilung von X
> a) exakt,
>
> Hallo liebe Vorhelfer ich komm mal wieder mit ner
> Stochastikaufgabe nicht klar, und zweifel langsam obs dafür
> überhaupt einen sinnvollen Lösungsweg gibt. Aber falls ihn
> doch jemand erkennt, büdde helft mir :-(
> Ich hab sogar die Lösung, brauch nur den Rechenweg. Klar
> kann ichs theoretisch mit einem 10stufigen Baumdiagramm
> lösen aber das ist hoffentlich nicht Sinn der Sache. b) ist
> ja kein Problem mit n über k aber aufgabe a) exakt???
> Naja, vielleicht hat ja jemand hier Ahnung davon )
> Danke schonmal
>
> a)
> k P ( X=k )
> 0 14,78 %
> 1 32,52 %
> 2 30,43 %
> 3 15,91 %
> 4 5,14 %
> 5 1,07 %
> 6 0,14 %
> 7 0,01 %
> 8 0,00 %
> 9 0,00 %
> 10 0,00 %
Dann versuche dir doch, die Logik des Baumdiagramms zu verstehen.
Wir haben 131 Schüler. 22 davon mit Mathe-LK, 109 mit einem anderen. Und nun suchen wir 10 Schüler auf dem Pausenhof willkürlich heraus.
Nun ist die Wahrscheinlichkeit mit dem ersten 'herausgesuchten' jemanden mit einem anderen LK zu erwischen [mm] \br{109}{131}. [/mm] Es bleiben noch 130 andere Leute, davon einen ohne M-LK zu erwischen, beträgt [mm] \br{108}{130} [/mm] usw.
Es ergibt sich also die längliche Rechnung von
P("keiner mit MatheLK") = [mm] $\br{109*108*...*100}{131*130*...*122} [/mm] $
Das ergibt auch das genannte Ergebnis von [mm] \approx14,78209778
[/mm]
Die Logik dahinter ist aber, das man genauso gut folgendes rechnen kann:
[mm] $\frac{\br{109!}{99!}}{\br{131!}{121!}}$
[/mm]
Ist ja genau dasselbe. Nur sieht das etwas komplizierter aus.
> b) durch Approximation mit Hilfe der Binomialverteilung.
> b) ist
> ja kein Problem mit n über k aber aufgabe
Dann hast du die auch richtig gelöst? Ich habe mir dazu jetzt keine Gedanken gemacht.
MfG
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 So 03.09.2006 | | Autor: | dth100 |
Erstmal danke für deine Bemühungen aber so klappt das doch nicht oder seh ich aufm Schaluch?
Das geht für den Fall, das keiner der 10 befragten Mathe LK hat aber allein schon für denn Fall dass genau einer der Befragten Mathe LK gewählt hat, funktioniert das nicht mehr, dann gibts 10 Pfade mit 10 unterschiedlichen wahrscheinlichkeiten, und dann funktioniert das doch mit der Fakultät nicht mehr. Bzw. ich müsste das für jeden der 10 Pfade anwenden? Also wenns keine schnellere Lösung gibt dann sitzt du doch da locker ne Stunde an der Aufgabe oder nciht?
Aber wie gesagt, auf jeden danke ich dir für die Anregung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Mo 04.09.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo.
> Erstmal danke für deine Bemühungen aber so klappt das doch
> nicht oder seh ich aufm Schaluch?
Kennst du eigentlich die Geschichte von dem Jungen, der immer ruft: "hilfe - ein Wolf"?
> Das geht für den Fall, das keiner der 10 befragten Mathe
> LK hat aber allein schon für denn Fall dass genau einer der
> Befragten Mathe LK gewählt hat, funktioniert das nicht
> mehr, dann gibts 10 Pfade mit 10 unterschiedlichen
> wahrscheinlichkeiten, und dann funktioniert das doch mit
> der Fakultät nicht mehr. Bzw. ich müsste das für jeden der
> 10 Pfade anwenden? Also wenns keine schnellere Lösung gibt
Ich habe auch nie behauptet, dass das die Komplettlösung für die komplette Aufgabe ist. Das war lediglich eine Hilfe, bei der du ja jetzt auch für die Wahrscheinlichkeit x=1 erkannt hast, dass es 10 Möglichkeiten gibt.
> dann sitzt du doch da locker ne Stunde an der Aufgabe oder
> nciht?
Nööö. Man muss nur etwas kombinieren.
[mm] $\br{\br{109!}{100!}*22}{\br{131!}{121!}}$
[/mm]
Hierbei hat sich nur folgendes getan, nämlich dass wir jetzt nur noch 9 ohne Mathe LK antreffen. Das besagt jetzt die 100!. Vorher war es 99!, jetzt 100!. Unser Bruch [mm] \br{109!}{100!} [/mm] besagt ja nur: $109*108*107*106*105*104*103*102*101$
Und unsere gesamte Rechnung lautet
[mm] \br{\blue{109*108*107*106*105*104*103*102*101}*\red{22}}{\green{131*130*129*....122}}$
[/mm]
Unser Blau heisst steht für die Anzahl der Schüler, die keinen MatheLK haben (und die "Anzahl" der Zahlen, nämlich 9, für die Leute, die wir antreffen), unser rot für die Anzahl der Schüler mit MatheLK. Blöde gesagt, denn diese Zahlen im Zähler (oben im Bruch) sind hier eigentlich auch mit dem Nenner zu betrachten - nun haben wir einige Wahrscheinlichkeiten. In dem oben genannten Fall haben wir aber nur das Ereignis:
( D,D,D,D,D,D,D,D,D,M )
D steht einmal für Nicht Mathe.
Wie du schon richtig erkannt hast, gibt es 10 Pfade. Das heisst so viel wie:
[mm] $10*\br{\blue{109*108*107*106*105*104*103*102*101}*\red{22}}{\green{131*130*129*....122}}$
[/mm]
Oder aber es ist:
[mm] $\vektor{10\\1}*\br{\blue{109*108*107*106*105*104*103*102*101}*\red{22}}{\green{131*130*129*....122}}$
[/mm]
Beim dritten Fall gibt es dann [mm] \vektor{10\\2} [/mm] Fälle, nämlich 45.
Und das ist (finde ich persönlich) einfacher zu verstehen als die Fertigformel von Tommy *click it*
> Aber wie gesagt, auf jeden danke ich dir für die Anregung
>
>
MfG
Disap
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Hallo dth100!
Die Aufgabe a) lässt sich mittels hypergeometrischer Verteilung lösen. Bei dieser diskreten Verteilung geht es um die Beantwortung der Frage, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, daß bei n Elementen aus einer Grundgesamtheit N ein Merkmal k-mal vorhanden ist, wenn es insgesamt M Merkmalsträger in der Grundgesamtheit gibt.
Somit sind laut deiner Aufgabe gegeben:
M=22 (Anzahl der Mathe-LK-Schüler in der Grundgesamtheit)
x=k (Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe)
N=131 (Anzahl der Schüler=Grundgesamtheit)
n=10 (Anzahl der auf dem Schulhof befragten Schüler=Stichprobenumfang )
Es gilt:
[mm] P(x=k)=\bruch{\vektor{M \\ k}*\vektor{N-M \\ n-k}}{\vektor{N \\ n}}
[/mm]
Diese Formel musst du nun für alle k=0..10 berechnen (Is ein bisschen Arbeit) um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, daß bei 10 befragten Schülern gerade k Schüler Mathe-Lk machen.
Für k=0 (also keiner der Befragten macht Mathe-LK) sieht das ganze so aus:
[mm] P(x=0)=\bruch{\vektor{22 \\ 0}*\vektor{131-22 \\ 10-0}}{\vektor{131 \\ 10}}=\bruch{\vektor{22 \\ 0}*\vektor{109 \\ 10}}{\vektor{131 \\ 10}}=\bruch{\bruch{22!}{0!*22!}*\bruch{109!}{10!*99!}}{\bruch{131!}{10!*121!}}
[/mm]
[mm] =\bruch{22!}{0!*22!}*\bruch{109!}{10!*99!}*\bruch{10!*121!}{131!}
[/mm]
werden die 22! und 10! gekürzt, die anderen Fakultäten weitesgehen ebenfalls gekürz und 0!=1 eingesetzt erhält man:
[mm] =\bruch{109*108*107*106*105*104*103*102*101*100}{131*130*129*128*127*126*125*124*123*122}
[/mm]
das ganze jetzt fröhlich in den Taschenrechner eingehackt un man erhält:
[mm] P(x=0)=0,147820977807\cong14,78 [/mm] %
Nun musst du die ganze Rechnerei 'nur' noch für k=1 bis k=10 durchführen um auf die exakte Wahrscheinlichkeit zu kommen. Dazu musst du lediglich den Wert '0' in der Formel von P(x=0) jeweils abändern und berechnen. Das sollte aber mit Sicherheit schneller gehen, als die etlichen Pfade im 10stufigen Baumdiagram abzusuchen.
Alternativ kannst du den ganzen Spaß auch mit Excel lösen, daß würde eine Menge Zeit und Rechnerei einsparen.
Viel Spaß dabei. 
Gruß,
Tommy
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