Wirkung auf dem projekt. Raum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo! Bin gerade bei folgender Aufgabe:
Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und sei P(V) die Menge aller 1-dimensionalen Unterräume von V, genannt projektiver Raum von V.
Die Wirkung von GL(n,K) auf V induziert eine Wirkung von GL(n,K) auf P(V). Bestimmen Sie den Kern dieser Wirkung.
Hinweis: Zeigen Sie, dass das Problem äquvalent dazu ist, alle invertierbaren Matrizen von [mm] K^{nxn} [/mm] zu finden, für die jeder Vektor von V ein Eigenvektor ist.
Ehrlich gesagt, kann ich mir gar nichts unter der Aufgabe vorstellen. Klingt für mich wie Chinesisch! :-( Ich weiß nur, dass GL(n,K) alle Matrizen mit det [mm] \not= [/mm] 0 sind.
Ich hoffe, jemand kann mir etwas Licht in meine Dunkelheit bringen...
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Mi 11.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
Du benutzt das Wort "Wirkung" - es hat anscheinend eine mathematische Bedeutung in dieser Aufgabe - kannst du in deinem Skript (o.ä.) nachschauen und noch dazu schreiben, was es bedeutet?
@Moderatoren:ich wollte hier nicht auf "reagiert" stellen, weil diese Reaktion ja nur durch mein beschränktes Wissen entsteht...
viele Grüße
DaMenge
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Wir haben Wirkung folgendermaßen definiert:
Eine Wirkung oder Operation auf einer Menge M ist eine Gruppenhomomorphismus Phi : G [mm] \to [/mm] Sym(M), wobei Sym(M) die Gruppe aller Permutationen von M bezeichnet.
Statt Phi(g)(m) schreibt man oft g(m) oder gm.
Die Wirkung Phi heißt treu oder effektiv, falls Phi injektiv ist.
Ist m [mm] \in [/mm] M, so heißt G(m) = { g(m) | g [mm] \in [/mm] G } die Bahn von m unter G.
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Grüße!
Also, die Aussage ist nicht so schwer... das Problem ist nur, dass die Begriffe recht abstrakt sind und daher auf Anfänger abschreckend wirken. Aber wenn wir das Schritt für Schritt erläutern, kommen wir bestimmt ans Ziel. 
Also, $V$ ist unser Vektorraum über $K$. Wie kann man sich dann $P(V)$ vorstellen? Nun, das soll die Menge aller 1-dim. Untervektorräume (also "Ursprungs-Geraden") in $V$ werden.
Sei $v [mm] \not= [/mm] 0$ in $V$ ein beliebiger Vektor. Dann "erzeugt" dieser eine Gerade, nämlich gerade [mm] $\langle [/mm] v [mm] \rangle [/mm] := [mm] \{ \lambda v : \lambda \in K \} \in [/mm] P(V)$. Das ist einfach der durch $v$ aufgespannte Untervektorraum.
Natürlich ist diese Zuordnung, die einem Vektor die Gerade zuordnet, auf der dieser liegt nicht injektiv: wenn zwei verschiedene Vektoren auf der gleichen Geraden liegen, liefert die Zuordnung das gleiche. Genauer gilt für $v,w [mm] \in [/mm] V$ mit $v, w [mm] \not= [/mm] 0$:
[mm] $\langle [/mm] v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] w [mm] \rangle \iff [/mm] v = [mm] \mu [/mm] w $ für ein $ [mm] \mu \in [/mm] K$ oder in Worten: $v$ und $w$ liefern genau dann die gleiche Gerade in $P(V)$, wenn sie Vielfache voneinander sind.
Soweit zur Beschreibung des projektiven Raumes. Aber was soll das mit der Wirkung nun bedeuten?
Wenn ich mir ein Element $f [mm] \in GL_n(K)$ [/mm] hernehme (ich nehme hier [mm] $\dim [/mm] V = n$ an), dann "wirkt" das auf $V$, das heißt ich kann $f$ auf Elemente von $V$ anwenden.
Aber $f$ wirkt auch auf $P(V)$! Dazu muß man sich nur überlegen, dass $f$ Geraden wieder in Geraden überführt. Aber das liegt an der Linearität von $f$: zu $v [mm] \not= [/mm] 0$ kann man [mm] $f\big( \langle [/mm] v [mm] \rangle \big)$ [/mm] bestimmen, indem man $f$ auf alle Elemente der Geraden anwendet. Es gilt aber [mm] $f(\lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] f(v)$ und daher sind alle Elemente des Bildes Vielfache von $f(v)$ oder formal geschrieben:
[mm] $f\big( \langle [/mm] v [mm] \rangle \big) [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(v) [mm] \rangle \in [/mm] P(V)$.
Ich habe oben immer $v [mm] \not= [/mm] 0$ vorausgesetzt, damit auch wirklich Geraden herauskommen - und das geschieht hier auch, da $f$ nach Voraussetzung invertierbar, also injektiv ist. Dadurch ist $f(v) [mm] \not= [/mm] 0$ falls $v [mm] \not= [/mm] 0$.
Was ist jetzt der "Kern" dieser Wirkung? Naja, das sind all' solche $f$, die auf dem $P(V)$ durch die Identität wirken, das heißt alle $f$, die jede Gerade in sich überführen! Dann muß aber für alle $v [mm] \in [/mm] V$ gelten: $f(v) = [mm] \mu_v [/mm] v$, das heißt jedes $v [mm] \in [/mm] V$ muß Eigenvektor zu einem gewissen Eigenwert sein.
Das erklärt den Hinweis: der Kern der Wirkung besteht gerade aus den Endomorphismen $f$, für die jeder Vektor Eigenvektor ist, weil diese jede Gerade auf sich abbilden.
Und die Menge dieser Endomorphismen ist zu bestimmen. Dazu jetzt vielleicht noch ein Hinweis: falls $v,w [mm] \in [/mm] V$ beide ungleich 0 Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] sind, kannst Du dann zeigen, dass $v + w$ von 0 verschieden und kein Eigenvektor ist? Was folgt daraus für die Aufgabe?
Viel Erfolg!
Lars
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Vielen, vielen Dank schonmal für deine Mühe! Ich denke, dadurch wird für mich einiges klarer.
Im Moment habe ich gerade wenig Zeit, um mir das genau anzugucken! Falls noch eine Frage aufkommt, poste ich sie hier einfach!
Nochmals: Danke!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mo 23.05.2005 | | Autor: | julieann |
Also, ich bastele an der gleichen Aufgabe.
Ich muss jetzt also die Menge dieser Endomorphismen bestimmen.
Aber so richtig kann ich deinem Hinweis nicht folgen.
Wie ich genau zeige, dass das ungleich 0 uind Eigenvektor ist, und was mir das für die Aufgabe sagt.
Willst du auf die Homomorphismuseigenschaft hinaus?
[mm] f(\lambda*v) [/mm] = [mm] f(\lambda)*f(v)
[/mm]
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Hallo!
Also zunächst mal meinst Du bestimmt $f( [mm] \lambda [/mm] v) = [mm] \lambda [/mm] f(v)$, also die Linearität von $f$.
Und naja, das spielt natürlich eine Rolle. Wie ein $f [mm] \in GL_n(K)$ [/mm] auf $P(V)$ wirkt, habe ich ja schon versucht zu erläutern. Jetzt soll der Kern der Wirkung bestimmt werden. Nehmen wir also an, wir haben ein $f$ gegeben, dessen Wirkung trivial ist. Dann gilt für jede Gerade [mm] $\langle [/mm] v [mm] \rangle \in [/mm] P(V)$: $f [mm] \big( \langle [/mm] v [mm] \rangle \big) [/mm] = [mm] \langle [/mm] f(v) [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] v [mm] \rangle$. [/mm] Die letzte Gleichung folgt gerade aus der Trivialität der Wirkung.
Daraus folgt, dass es zu jedem $v [mm] \in [/mm] V$ mit $v [mm] \not= [/mm] 0$ ein [mm] $\lambda_v \in [/mm] K$ gibt mit $f(v) = [mm] \lambda_v [/mm] v$. Also ist jeder Vektor Eigenvektor.
Ich behaupte jetzt, dass [mm] $\lambda_v [/mm] = [mm] \lambda_w$ [/mm] für alle $v,w [mm] \in [/mm] V [mm] \backslash \{ 0 \}$, [/mm] also dass der Eigenwert immer der gleiche ist.
Der Beweis ist leicht: angenommen, es gibt Vektoren $v,w [mm] \in [/mm] V$ beide nicht 0 mit verschiedenen Eigenwerten [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$. [/mm] Die beiden sind linear unabhängig, also ist $v + w [mm] \not= [/mm] 0$. Da nach Voraussetzung jeder Vektor Eigenvektor ist, also auch $v + w$ (zum Eigenwert sagen wir mal [mm] $\delta$). [/mm] Dann gilt
[mm] $\delta [/mm] v + [mm] \delta [/mm] w = [mm] \delta [/mm] (v + w) = f(v + w) = f(v) + f(w) = [mm] \lambda [/mm] v + [mm] \lambda [/mm] w$
Oder anders: [mm] $(\delta [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] v + [mm] (\delta [/mm] - [mm] \mu) [/mm] w = 0$
Wegen der linearen Unabhängigkeit von $v$ und $w$ folgt automatisch [mm] $\delta [/mm] = [mm] \lambda$ [/mm] und [mm] $\delta [/mm] = [mm] \mu$, [/mm] also auch [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \mu$ [/mm] im Widerspruch zur Voraussetzung.
Damit ist die Behauptung bewiesen und der Kern der Wirkung besteht aus allen Matrizen, für die jeder Vektor Eigenvektor ist, also aus allen Skalarmatrizen. Oder formal, wenn man mit [mm] $\varphi$ [/mm] die Wirkung bezeichnet:
[mm] $\ker \varphi [/mm] = [mm] \{ \lambda I_n : \lambda \in K^{*} \}$
[/mm]
Mit [mm] $I_n$ [/mm] meine ich die $n [mm] \times [/mm] n$ Einheitsmatrix.
Alles klar? Falls nicht, frag einfach nochmal nach.
Lars
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