Wirbelfluss eines Vektorfeldes < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Di 01.03.2011 | | Autor: | kopfl |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes [mm] \vec F(x,y,z) = \vektor{x^2*y\\z\\0}[/mm] durch die Oberfläche der Kugel [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = 16 über der Ebene z=-2
a) direkt über das Flächenintegral
b) über das entsprechende Linienintegral mit Hilfe des Satzes von Stokes. |
Moin Moin,
bin gerade mitten in der Klausurvorbereitung zum Thema Vektoranalysis. Habe schon einige Aufgaben zu diesem Thema gerechnet. Bisher allerdings nicht über die Voll-, sondern lediglich über die Halbkugel.
Mein Ansatz zu a ist folgender:
[mm] \int_{\theta = 0}^{\pi }\int_{\phi = 0}^{2*\pi } rot \vec F*da[/mm]
[mm] rot \vec F = \vektor{-1\\0\\-x^2} [/mm] und [mm]da = r^2*sin\theta d\theta d\phi \vec e_r[/mm]
Da da in [mm] \vec e_r [/mm] Richtung zeigt, wird die [mm] \vec F_r [/mm] Komponente benötigt.
[mm] \vec F_r=F_x*sin\theta*cos\phi + F_y*sin\theta*sin\phi +F_z*cos\theta [/mm] also folgt
[mm] \vec F_r=-1*sin\theta*cos\phi + 0*sin\theta*sin\phi +(-r^2*sin\theta^2*cos\phi^2)*cos\theta [/mm]
So nach einsetzen folgt nun
[mm] \int_{\theta = 0}^{\pi }\int_{\phi = 0}^{2*\pi } (-sin\theta*cos\phi -r^2*sin\theta^2*cos\phi^2*cos\theta)* r^2*sin\theta d\theta d\phi \vec e_r
[/mm]
Meine Frage zu diesem Teil ist nun fürs erste, ob meine Vorgehensweise bisher Richtig ist.
Nun zum Teil b)
[mm] \int_{\theta = 0}^{\pi }\int_{\phi = 0}^{2*\pi } rot \vec F*da =\int_{c} F*d\vec s[/mm]
[mm]d\vec s = \rho*d\phi \vec e_\phi[/mm]
also wird
[mm]F_\phi= -F_x*sin\phi+F_y*cos\phi[/mm]
[mm]F_\phi= -\rho^2*cos\phi^2*\rho*sin\phi^2+z*cos\phi[/mm]
z = -2
[mm]F_\phi= -\rho^2*cos\phi^2*\rho*sin\phi^2-2*cos\phi[/mm]
[mm]\int_{c} F*d\vec s =\int_{\phi=0}^{2*\pi} (-\rho^2*cos\phi^2*\rho*sin\phi^2-2*cos\phi) * \rho*d\phi
[/mm]
Ist der gewählte Ansatz korrekt?
Als Ergebnis ist -36 [mm]\pi[/mm]
So viel für meinen ersten Beitrag, ich hoffe, dass jemand einen guten Tipp für mich hat.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kopfl,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes [mm]\vec F(x,y,z) = \vektor{x^2*y\\z\\0}[/mm]
> durch die Oberfläche der Kugel [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] = 16 über der
> Ebene z=-2
> a) direkt über das Flächenintegral
> b) über das entsprechende Linienintegral mit Hilfe des
> Satzes von Stokes.
> Moin Moin,
>
> bin gerade mitten in der Klausurvorbereitung zum Thema
> Vektoranalysis. Habe schon einige Aufgaben zu diesem Thema
> gerechnet. Bisher allerdings nicht über die Voll-, sondern
> lediglich über die Halbkugel.
So wie ich sehe, geht es auch hier nicht um eine Vollkugel,
sondern um einen Kugelabschnitt, dessen Höhe drei Viertel
des Kugeldurchmessers misst.
> Mein Ansatz zu a ist folgender:
>
> [mm]\int_{\theta = 0}^{\pi }\int_{\phi = 0}^{2*\pi } rot \vec F*da[/mm]
dieses Differential "da" wäre eigentlich ein Vektor: [mm] \overrightarrow{da}
[/mm]
Da eben nicht die ganze Kugeloberfläche gemeint ist, muss
eine der Grenzen von [mm] \theta [/mm] abgeändert werden.
> [mm]rot \vec F = \vektor{-1\\0\\-x^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und [mm]da = r^2*sin\theta d\theta d\phi \vec e_r[/mm]
>
> Da da in [mm]\vec e_r[/mm] Richtung zeigt, wird die [mm]\vec F_r[/mm]
> Komponente benötigt.
>
> [mm]\vec F_r=F_x*sin\theta*cos\phi + F_y*sin\theta*sin\phi +F_z*cos\theta[/mm]
> also folgt
>
> [mm]\vec F_r=-1*sin\theta*cos\phi + 0*sin\theta*sin\phi +(-r^2*sin\theta^2*cos\phi^2)*cos\theta[/mm]
Anstatt [mm] sin\theta^2 [/mm] solltest du z.B. [mm] (sin\,\theta)^2 [/mm] oder [mm] sin^2 \theta [/mm] schreiben.
> So nach einsetzen folgt nun
>
> [mm]\int_{\theta = 0}^{\pi }\int_{\phi = 0}^{2*\pi } (-sin\theta*cos\phi -r^2*sin\theta^2*cos\phi^2*cos\theta)* r^2*sin\theta d\theta d\phi \vec e_r[/mm]
Der Einheitsvektor [mm] \vec{e}_r [/mm] ist hier nicht mehr am Platz.
Indem du die Vektorkomponente [mm] \vec{F}_r [/mm] berechnet hast, hast
du eigentlich das Skalarprodukt von [mm] \vec{F} [/mm] mit [mm] \vec{e}_r [/mm] schon
gebildet. Es gilt: [mm] $\vec{F}_r\ [/mm] =\ [mm] \vec{F}*\vec{e}_r$
[/mm]
> Nun zum Teil b)
>
> [mm]\int_{\theta = 0}^{\pi }\int_{\phi = 0}^{2*\pi } rot \vec F*da =\int_{c} F*d\vec s[/mm]
Hätten wir links (mit den angegebenen Integrationsgrenzen)
die Vollkugel, gäbe es keine Randkurve (bzw. eine zu einem
Punkt geschrumpfte), und der Wert des Integrals müsste
Null ergeben.
> [mm]d\vec s = \rho*d\phi \vec e_\phi[/mm]
>
> also wird
> [mm]F_\phi= -F_x*sin\phi+F_y*cos\phi[/mm]
>
> [mm]F_\phi= -\rho^2*cos\phi^2*\rho*sin\phi^2+z*cos\phi[/mm]
> z = -2
> [mm]F_\phi= -\rho^2*cos\phi^2*\rho*sin\phi^2-2*cos\phi[/mm]
>
>
> [mm]\int_{c} F*d\vec s =\int_{\phi=0}^{2*\pi} (-\rho^2*cos\phi^2*\rho*sin\phi^2-2*cos\phi) * \rho*d\phi
[/mm]
>
> Ist der gewählte Ansatz korrekt?
Ja. Du musst natürlich noch den Radius [mm] \rho [/mm] des Randkreises c
berechnen.
> Als Ergebnis ist -36 [mm]\pi[/mm] angegeben.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Di 01.03.2011 | | Autor: | kopfl |
> Hallo kopfl,
>
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> > Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes [mm]\vec F(x,y,z) = \vektor{x^2*y\\z\\0}[/mm]
> > durch die Oberfläche der Kugel [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] = 16 über der
> > Ebene z=-2
> > a) direkt über das Flächenintegral
> > b) über das entsprechende Linienintegral mit Hilfe des
> > Satzes von Stokes.
>
> > Moin Moin,
> >
> > bin gerade mitten in der Klausurvorbereitung zum Thema
> > Vektoranalysis. Habe schon einige Aufgaben zu diesem Thema
> > gerechnet. Bisher allerdings nicht über die Voll-, sondern
> > lediglich über die Halbkugel.
>
> So wie ich sehe, geht es auch hier nicht um eine
> Vollkugel,
> sondern um einen Kugelabschnitt, dessen Höhe drei
> Viertel
> des Kugeldurchmessers misst.
Liegt der Grund dafür in z = -2?
>
>
> > Mein Ansatz zu a ist folgender:
> >
> > [mm]\int_{\theta = 0}^{\pi }\int_{\phi = 0}^{2*\pi } rot \vec F*da[/mm]
>
> dieses Differential "da" wäre eigentlich ein Vektor:
> [mm]\overrightarrow{da}[/mm]
>
> Da eben nicht die ganze Kugeloberfläche gemeint ist, muss
> eine der Grenzen von [mm]\theta[/mm] abgeändert werden.
Wie muss ich [mm]\theta [/mm] dann wählen? 3/4 [mm]\pi [/mm] ist nicht korrekt oder?
> > [mm]rot \vec F = \vektor{-1\\0\\-x^2}[/mm]
>
> > und [mm]da = r^2*sin\theta d\theta d\phi \vec e_r[/mm]
> >
> > Da da in [mm]\vec e_r[/mm] Richtung zeigt, wird die [mm]\vec F_r[/mm]
> > Komponente benötigt.
> >
> > [mm]\vec F_r=F_x*sin\theta*cos\phi + F_y*sin\theta*sin\phi +F_z*cos\theta[/mm]
> > also folgt
> >
> > [mm]\vec F_r=-1*sin\theta*cos\phi + 0*sin\theta*sin\phi +(-r^2*sin\theta^2*cos\phi^2)*cos\theta[/mm]
>
> Anstatt [mm]sin\theta^2[/mm] solltest du z.B. [mm](sin\,\theta)^2[/mm]
> oder [mm]sin^2 \theta[/mm] schreiben.
Alles klar, merke ich mir fürs nächste mal ;).
>
> > So nach einsetzen folgt nun
> >
> > [mm]\int_{\theta = 0}^{\pi }\int_{\phi = 0}^{2*\pi } (-sin\theta*cos\phi -r^2*sin\theta^2*cos\phi^2*cos\theta)* r^2*sin\theta d\theta d\phi \vec e_r[/mm]
>
> Der Einheitsvektor [mm]\vec{e}_r[/mm] ist hier nicht mehr am
> Platz.
> Indem du die Vektorkomponente [mm]\vec{F}_r[/mm] berechnet hast,
> hast
> du eigentlich das Skalarprodukt von [mm]\vec{F}[/mm] mit [mm]\vec{e}_r[/mm]
> schon
> gebildet. Es gilt: [mm]\vec{F}_r\ =\ \vec{F}*\vec{e}_r[/mm]
War ein Kopierfehler. Der Lümmel hat sich da mit reingeschlichen.
> > Nun zum Teil b)
> >
> > [mm]\int_{\theta = 0}^{\pi }\int_{\phi = 0}^{2*\pi } rot \vec F*da =\int_{c} F*d\vec s[/mm]
>
> Hätten wir links (mit den angegebenen
> Integrationsgrenzen)
> die Vollkugel, gäbe es keine Randkurve (bzw. eine zu
> einem
> Punkt geschrumpfte), und der Wert des Integrals müsste
> Null ergeben.
>
> > [mm]d\vec s = \rho*d\phi \vec e_\phi[/mm]
> >
> > also wird
> > [mm]F_\phi= -F_x*sin\phi+F_y*cos\phi[/mm]
> >
> > [mm]F_\phi= -\rho^2*cos\phi^2*\rho*sin\phi^2+z*cos\phi[/mm]
> > z = -2
> > [mm]F_\phi= -\rho^2*cos\phi^2*\rho*sin\phi^2-2*cos\phi[/mm]
> >
> >
> > [mm]\int_{c} F*d\vec s =\int_{\phi=0}^{2*\pi} (-\rho^2*cos\phi^2*\rho*sin\phi^2-2*cos\phi) * \rho*d\phi
[/mm]
> >
> > Ist der gewählte Ansatz korrekt?
>
> Ja. Du musst natürlich noch den Radius [mm]\rho[/mm] des
> Randkreises c
> berechnen.
Beträgt der Radius nun 4 oder entsprechend dem Wert der Randkurve bei z = -2?
>
> > Als Ergebnis ist -36 [mm]\pi[/mm] angegeben.
>
>
> LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Di 01.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Grenzen für [mm] \theta: 4*\cos\theta=-2 [/mm] daraus [mm] \theta
[/mm]
2. dein Randkreis hat den Radius bei z=-2. mit r=4 wär es ja der >äquator.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Fr 04.03.2011 | | Autor: | kopfl |
Ahhh, Aufgabe gelöst. Vielen Dank!
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