Winkelgleichung lösen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Lösen Sie folgende Gleichung:
[mm]40*cos(x)=9+41*sin(x)[/mm] |
Lösung der Aufgabe durch Substitution:
[mm]40*cos(x)=9+41*sin(x)[/mm]|[mm]-40*cos(x),-9[/mm]
[mm]41*sin(x)-40*cos(x)=-9[/mm]
Substitution:
[mm]41*2z+(-40)*(1-z^2)=-9*(1+z^2)[/mm]
[mm]82z-40+40z^2=-9-9^2[/mm] |[mm]+9, +9z^2[/mm]
[mm]49z^2+82z-31=0[/mm]
Ist das soweit korrekt?
ich bekommen nämlich für: [mm] X_1 [/mm] = 0.317725357 und für [mm] X_2 [/mm] = -1.991194745 heraus.
Das kommt mir etwas krum vor.
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Hallo Vertax,
mich würde eher wundern, wenn die Ergebnisse nicht krumm wären.
Aber was substituierst Du da eigentlich? Das sieht ziemlich verkehrt aus.
Grüße
reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:57 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Vertax |
Eine Lösungsmethode für [mm]a*sin(x)+b*cos(x)=c[/mm]
a,b und c seien gegeben. gesucht werden alle x mit [mm]a*sin(x)+b*cos(x)=c[/mm]
Lösungsweg: Man stellt sin(x) und cos(x) mit Hilfe vom [mm]tan(\bruch{x}{2})[/mm] dar.
Man setzt [mm]z = tan(\bruch{x}{2})[/mm]
Ausgangsgleichung: [mm] 2az+b*(1-z^2)=c*(1+z^2)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Mi 13.10.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ja, schon klar.
Und wieso wird c ersetzt durch [mm] c*(1+z^2)? [/mm] Und [mm] \sin{x} [/mm] durch 2z?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Vertax |
Man setzt [mm] z=tan(\bruch{x}{2}) -> sin(x) = \bruch{2*z}{1+z^2}, cos(x) = \bruch{1-z^2}{1+z^2}[/mm]
Einsetzen in [mm] a*sin(x)+b*cos(x) =c[/mm]
[mm] a*\bruch{2z}{1+z^2}+b*\bruch{1-z^2}{1+z^2}=c[/mm] |[mm]*(1+z^2)[/mm]
Ausgangsgleichung: [mm]2az+b*(1-z^2)=c*(1+z^2)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mi 13.10.2010 | | Autor: | Vertax |
Also als endgüliges Ergebniss habe ich
[mm]x_1 = 2*tan^{-1}(z_1)+2*k*pi = 0,6152764576 + 2*k*pi[/mm]
[mm]x_1 = 2*tan^{-1}(z_2)+2*k*pi = -2,210762888 + 2*k*pi[/mm]
[mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] habe ich weiter unten gepostet.
Könnte das bitte jemand Überprüfen.
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Hallo nochmal,
das stimmt so.
Wenn Du etwas ausführlicher vorrechnen würdest, bekämst Du auch schneller eine vernünftige Antwort. Die meisten haben wenig Lust, fremde Aufgaben selber zu rechnen, aber überprüfen ist ok. So gehts mir jedenfalls. Ein paar mehr Zwischenschritte oder Erläuterungen sind dafür hilfreich.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 13.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie folgende Gleichung:
> [mm]40*cos(x)=9+41*sin(x)[/mm]
> Lösung der Aufgabe durch Substitution:
>
> [mm]40*cos(x)=9+41*sin(x)[/mm]|[mm]-40*cos(x),-9[/mm]
> [mm]41*sin(x)-40*cos(x)=-9[/mm]
> Substitution:
> [mm]41*2z+(-40)*(1-z^2)=-9*(1+z^2)[/mm]
> [mm]82z-40+40z^2=-9-9^2[/mm] |[mm]+9, +9z^2[/mm]
> [mm]49z^2+82z-31=0[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
Das bekomme ich mit den Substitutionen
sin(x) = [mm] \bruch{2\cdot{}z}{1+z^2}, [/mm] cos(x) = [mm] \bruch{1-z^2}{1+z^2} [/mm]
ebenfalls
FRED
> ich bekommen nämlich für: [mm]X_1[/mm] = 0.317725357 und für [mm]X_2[/mm]
> = -1.991194745 heraus.
>
> Das kommt mir etwas krum vor.
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