Winkelberechnung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:23 Mo 10.04.2006 | | Autor: | daRecall |
| Aufgabe | | Winkelberechnung zwischen 2 Vektoren, und zwar der Winkel in mathematisch positiver Drehrichtung. |
Ich kann leider keine exakt wiedergegebene Aufgabenstellung geben. Im Rahmen einer Studienarbeit muss ich den Winkel zwischen 2 Vektoren im [mm]\IR_2[/mm]berechnen.
Gegeben sind 3 Punkte in bestimmter Reihenfolge. Der erste Vektor zeigt von Punkt 1 (p1) nach Punkt 2 (p2), der zweite Vektor von Punkt 2 (p2) nach Punkt 3 (p3).
Sei nun z.B. [mm] p_1 = \begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}, p_2 = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}, p_3 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}[/mm]. Der einschliessende Winkel beträgt 90°, der von mir gesuchte Winkel ist aber der in mathematisch positiver Richtung und beträgt 270°.
Das Problem ist, dass der arccos nur einen Zielbereich von 0° - 180° hat, es wird also immer der zwischenliegende Winkel unabhängig von der Drehrichtung genommen.
Bei einer Berechnung mit dem Skalarprodukt komme ich also nicht weiter =(.
Hat vielleicht jemand eine Idee, wie ich feststellen kann, welcher Winkel genommen wird?
mit freundlichen Grüssen
daRecall
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Wenn ich dich richtig verstanden habe, willst du bei der Winkelmessung die Orientierung berücksichtigen, so daß du auch überstumpfe Winkel berechnen kannst. Mit einer einzigen Formel wird das wohl nicht gehen, da du die Orientierung durch eine Zusatzbedingung abfragen mußt. Man könnte es folgendermaßen anstellen:
Ich bezeichne mit [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{s}[/mm] die Ortsvektoren der Punkte [mm]A,B,S[/mm] und mit [mm]\varphi = ASB[/mm] denjenigen Winkel mit dem Scheitel [mm]S[/mm], der überstrichen wird, wenn man [mm]\overrightarrow{SA}[/mm] um [mm]S[/mm] gegen den Uhrzeigersinn auf [mm]\overrightarrow{SB}[/mm] dreht. Dann gilt [mm]0^{\circ} \leq \varphi < 360^{\circ}[/mm].
Für die Orientierung ist die Determinante zuständig:
[mm]\delta = \det \left( \vec{a} - \vec{s} \, , \, \vec{b} - \vec{s} \right)[/mm]
Den nicht-orientierten Winkel [mm]\psi \in \left[ 0^{\circ} , 180^{\circ} \right][/mm] zwischen den Vektoren [mm]\overrightarrow{SA}[/mm] und [mm]\overrightarrow{SB}[/mm] erhält man mit der Cosinus-Formel (im Zähler steht das Skalarprodukt der Vektoren, im Nenner das Produkt der euklidischen Längen):
[mm]\psi = \arccos{\frac{( \, \vec{a} - \vec{s} \, ) \cdot ( \, \vec{b} - \vec{s} \, )}{ | \, \vec{a} - \vec{s} \, | \cdot | \, \vec{b} - \vec{s} \, |}}[/mm]
Und der gesuchte Winkel ist dann
[mm]\varphi = \begin{cases} \psi, & \text{falls} \ \delta \geq 0 \\ 360^{\circ} - \psi, & \text{falls} \ \delta < 0 \end{cases}[/mm]
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