Winkel zwischen Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 31.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho an alle 
Ich bräuchte mal den Beweis bzw. die Erklärung dafür, warum der Winkel zwischen zwei Vektoren der Quotient als Skalarprodukt und Betragsmultiplikation ist.
Klar: man stellt die Skalarprodukt-Formel um.
Mir geht es jetzt aber um die Herleitung dieser Formel, meinetwegen für das Skalarprodukt.
Ich habe leider nicht viel Zeit, mir selber darüber GEdanken zu machen, daher frag ich lieber, ob jemand einen guten Link kennt.
Gruß und Dank,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 31.08.2004 | | Autor: | profien |
naja wenn du nen link zu einer herleitung suchst schau dir das ma an
http://www.johnny.ch/pdf/skalarproduktherleitung.pdf
hoffe hilft dir weiter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Di 31.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Profien!
Danke, ich werd's mir gleich zu Gemüte führen!
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
Hallo Hanno.
Das Skalarprodukt von 2 Vektoren [mm]\vec a[/mm] und [mm]\vec b[/mm] ist zunächst definiert als [mm]\vec a\cdot\vec b = \left| \vec a \right| * \left| \vec b \right| * \cos \alpha[/mm]. Ich werde hier dreidimensionale Vektoren verwenden.
[mm]\vec c=\vec a - \vec b[/mm] Vektor c verbindet die Enden der Vektoren a und b. Die drei Vektoren bilden also ein Dreieck.
Der Kosinussatz besagt nun:
[mm]\left| \vec c \right|^2 = \left| \vec a \right|^2 + \left| \vec b \right|^2 - 2*\left| \vec a \right|*\left| \vec b \right|*\cos \alpha[/mm]
[mm]= a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2*\left| \vec a \right|*\left| \vec b \right|*\cos \alpha[/mm]
[mm]= a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2*(\vec a*\vec b)[/mm]
[mm]\vec c = \begin{pmatrix} a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3 \end{pmatrix}[/mm]
Die Länge des Vektors lässt sich also folgendermaßen bestimmen:
[mm]\left| \vec c \right|=\wurzel{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}[/mm]
Das Quadrat der Länge ist also
[mm]\left| \vec c \right|^2=a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2*a_1*b_1 - 2*a_2*b_2 - 2*a_3*b_3[/mm]
Somit gilt
[mm]a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2*a_1*b_1 - 2*a_2*b_2 - 2*a_3*b_3 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 - 2*(\vec a*\vec b)[/mm]
[mm]- 2*a_1*b_1 - 2*a_2*b_2 - 2*a_3*b_3 = - 2*(\vec a*\vec b)[/mm]
[mm]a_1*b_1 + a_2*b_2 + a_3*b_3 = \vec a*\vec b[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir helfen.
MfG
Jan
|
|
|
| |
|
Hallo Hanno!
Zuerst wird der Skalarprodukt axiomatisch definiert:
1) [mm]\vec{x}^{2} \ge 0[/mm]
2) [mm]\vec{x}*\vec{y}=\vec{y}*\vec{x}[/mm]
3) [mm]\vec{x}*(\vec{y}+\vec{z})=\vec{x}*\vec{y}+\vec{x}*\vec{z}[/mm]
4) [mm]\vec{x}*\vec{y} \le |\vec{x}|*|\vec{y}|[/mm]
u.s.w.
Dann definiert man den Winkel so dass... (wie du es gesagt hast). Das ist möglich wegen Axiom 4). Und dann interpretiert man das Ganze in eine Zeichnung, mithilfe von den Hilbert Axiomen. Man muss dem Ganzen in einem Mathe-Grundlagenbuch nachgehen.
Schöne Grüße,
Ladis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Di 31.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi
gebe ich auch noch meinen senf dazu:
sei $V$ eine [mm] $\mathbb{R}$-vektorraum, [/mm] dann ist eine abbildung $F: V [mm] \times [/mm] V [mm] \to \mathbb{R}$ [/mm] genau dann ein (reeles) skalarprodukt auf $V$, wenn sie folgenden bedingungen genügt:
(1) [m] \forall \, v \in V: F(v, v) \geq 0 [/m]
(2) [m] F(v, v) = 0 \; \Longleftrightarrow \; v = 0[/m]
(3) [m] \forall \, v, w \in V: F(v, w) = F(w, v) [/m]
(4) [m] \forall \, v, w, x \in V \; \forall \, \lambda, \mu \in \mathbb{R}: F(\lambda v + \mu w, x) = \lambda F(v, x) + \mu F(w, x) [/m]
dann lässt sich die ungleichung [m] | F(v, w) | \leq \| v \|_F \| w \|_F [/m] zeigen, die häufig als ungleichung von cauchy-schwarz-bunjakowkij (oder auch unter weglassung einzelner namen) bezeichnet wird. dabei bezeichnet [m] \| \cdot \|_F [/m] die von dem skalarprodukt $F$ induzierte norm, also [m] \| v \|_F := \sqrt{ F(v, v)} [/m]. diese ungleichung sichert - wie schon ladis geschrieben -, dass der wert des quotinenten [m] \frac{F(v, w)}{\|v \| \| w \| } [/m] stets zwischen -1 und 1 liegt, ihm also ein sinnvoller winkel in der von dir gegeben definition zugeordnet werden kann.
ich hoffe ich habe dich mit diesen definitionen nicht überfahren. ich wollte eigentlich damit ausdrücken, dass der winkel erst abstrkt definiert wird und ihm dann nur im anschauungsraum die gewohnte bedeutung zukommt. du kannst insbesonder auf diese art auch den winkel zwischen z.b. stetigen funktionen definieren, dem dann eigentlich gar keine anschauliche bedeutung mehr zukommt.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:52 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi an euch alle!
Danke für die zahlreichen Antworten; die haben mir sehr weitergeholfen!
Gruß,
Hanno
|
|
|
|
