Winkel zwischen Raumdiagonalen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Mo 27.05.2013 | | Autor: | humalog |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Vektoren a (2 -14 5), b (11 -2 -10) und c (-10 -5 -10) einen Würfel aufspannen. Unter welchem Winkel schneiden sich die Raumdiagonalen des Würfels? |
Die erste Frage habe ich beantwortet indem ich die Beträge miteinander verglichen habe. Die Beträge, also Seiten, haben alle die gleiche Länge, deswegen handelt es sich um einen Würfel.
Bei der Frage des Winkels komme ich nicht weiter. Für die Lösung benötige ich doch die Vektoren der Raumdiagonalen,die ich mithilfe des Skalarprodukts rausbekomme. Ich habe das Skalarprodukt aus c-a * b-a gebildet. Ist dieser Lösungsansatz richtig, um auf den gesuchten Winkel zu kommen?
MFG
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Hallo humalog,
nee, das reicht so noch nicht.
> Zeigen Sie, dass die Vektoren a (2 -14 5), b (11 -2 -10)
> und c (-10 -5 -10) einen Würfel aufspannen. Unter welchem
> Winkel schneiden sich die Raumdiagonalen des Würfels?
>
> Die erste Frage habe ich beantwortet indem ich die
> Beträge miteinander verglichen habe. Die Beträge, also
> Seiten, haben alle die gleiche Länge, deswegen handelt es
> sich um einen Würfel.
Hier musst Du noch überprüfen, ob die Kanten auch senkrecht aufeinander stehen. Sonst könnte es sich ja auch um einen Spat (Parallelepiped) mit gleichen Kantenlängen handeln.
> Bei der Frage des Winkels komme ich nicht weiter. Für die
> Lösung benötige ich doch die Vektoren der
> Raumdiagonalen,die ich mithilfe des Skalarprodukts
> rausbekomme. Ich habe das Skalarprodukt aus c-a * b-a
> gebildet. Ist dieser Lösungsansatz richtig, um auf den
> gesuchten Winkel zu kommen?
Nein. Das sind doch zwei Vektoren, die in Kantenrichtung verlaufen. Bestimme erst einmal die acht Eckpunkte des Würfels und überlege Dir zwei verschiedene Paare, die einander (raum)diagonal gegenüberliegen.
Als Kontrollergebnis: der gesuchte Winkel beträgt ca. 70,52°.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:25 Di 28.05.2013 | | Autor: | humalog |
Hallo reverend,
die Orthogonalität habe ich überprüft indem das Skalarprodukt 0 ergibt.
Wenn ich jetzt gegenüberliegende Eckpunkte bestimme, kann ich dann beliebige wählen, zum Beispiel P1(0,0,0) P2(1,1,1) oder muss ich dann von denen ausgehen, die mir vorgegeben sind?
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> Hallo reverend,
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> die Orthogonalität habe ich überprüft indem das
> Skalarprodukt 0 ergibt.
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> Wenn ich jetzt gegenüberliegende Eckpunkte bestimme, kann
> ich dann beliebige wählen, zum Beispiel P1(0,0,0)
> P2(1,1,1) oder muss ich dann von denen ausgehen, die mir
> vorgegeben sind?
Hallo,
meine spontane Antwort wäre gewesen: NATÜRLICH von denen des Dir vorliegenden Würfels!
Aber Du hast schon recht: wenn es wirklich nur um die Winkel geht, und man aus irgendwelchen Gründen bereits weiß, daß die eh in jedem Würfel gleich sind, kann man jeden x-beliebigen Würfel nehmen.
Aber spätestens, wenn Du den Schnittpunkt sagen sollst, oder irgendwelche Winkel die mit den Koordinatenebenen oder -achsen gebildet werden, brauchst Du Deinen speziellen Würfel.
Ich würde auch rein zu Übungszwecken zumindest zur Kontrolle mal Deinen Würfel nehmen. Ist ja kein Fehler, wenn man in der Lage ist, die Eckpunkte hinzuschreiben, oder?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Di 28.05.2013 | | Autor: | humalog |
Wie bekomme ich denn von meinem gegebenen Punkt den gegenüberliegenden Punkt heraus? Ich versuche auf die Lösung zu kommen, aber ich habe keinen Ansatz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Di 28.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Du hast keine Punkte vorgegeben und Du brauchst auch keine. Wenn die drei Vektoren [mm] $\vec{a}$, $\vec{b}$ [/mm] und [mm] $\vec{c}$ [/mm] heißen, dann ist [mm] $\vec{a} [/mm] + [mm] \vec{b}+ \vec{c}$ [/mm] ein Vektor in Richtung der Raumdiagonalen. Einen anderen bekommst Du zum Beispiel mit [mm] $-\vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b}+ \vec{c}$.
[/mm]
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