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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Winkel zw. Ebenen
Winkel zw. Ebenen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Winkel zw. Ebenen: mit 1 Parameter
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:36 Di 28.02.2006
Autor: ednahubertus

Aufgabe
E hat n = [mm] \vektor{-2 \\ 4\\4} [/mm]  und H : [mm] x+az-\wurzel{2} [/mm] =0
Aufg: Bestimmen Sie a so, dass E und H ein Schnittwinkel von 45° beträgt.

Ich war der Meinung übers Skalarprodukt zu gehen:


[mm] \bruch{\vektor{-2 \\ 4\\4}*\vektor{1 \\ 0\\a}}{ \wurzel{36}* \wurzel{1+a²}} [/mm] = cos 45° (=0,7071)

Habe dann versucht nach a auf zu lösen  
über 4a  [mm] \bruch{4a}{\wurzel{1+a²}}=0,7071*\wurzel{36}+2 [/mm]

und bin gescheitert als ich am folgenden Punkt:

[mm] \bruch{a}{ \wurzel{1+a²}}=1,56066. [/mm]

Wie komme letztlich zum meinem a so, dass der Winkel 45° groß ist ? Wie kriege ich diese verdammte Wurzel aus dieser Gleichung?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Winkel zw. Ebenen: Rechenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:00 Mi 01.03.2006
Autor: Loddar

Hallo ednahubertus,

[willkommenmr] !!


Dein Ansatz ist völlig richtig, allerdings machst Du einen Rechenfehler beim Umstellen:

[mm]\bruch{\vektor{-2 \\ 4\\4}*\vektor{1 \\ 0\\a}}{ \wurzel{36}* \wurzel{1+a^2}} \ = \ \bruch{-2+0+4a}{6*\wurzel{1+a^2}} \ = \ \blue{\bruch{2a-1}{3*\wurzel{1+a^2}}} \ = \ \cos 45° \ = \ \blue{\bruch{1}{\wurzel{2}}}[/mm]


Nun multiplizieren wir die Gleichung zunächst mit [mm] $3*\wurzel{2}*\wurzel{1+a^2}$ [/mm] und erhalten:

[mm](2a-1)*\wurzel{2} \ = \ 3*\wurzel{1+a^2}[/mm]


Wenn Du diese Gleichung nun quadrierst (am Ende die Probe nicht vergessen!), erhältst Du eine quadratische Gleichung, die Du doch sicher lösen kannst, z.b. mit der MBp/q-Formel.

[mm] $(2a-1)^2*2 [/mm] \ = \ [mm] 9*(1+a^2)$ [/mm]

usw.


Gruß
Loddar

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