Winkel maximal < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=e^{x}. [/mm] Ein Punkt P des Graphen von f wird mit dem Usprung durch eine Strecke verbundeb. Bestimmen sie P so, dass der Winkel, den die Gerade durch O und P mit der positiven x-Achse einschließt, maximal wird. Welche besondere Eigenschaften hat die VErbindungsgerade? |
Tagchen!
ich komm einfach auf keinen vernüftigen Ansatz. Ich hab die Gerde OP und
P(u/f(u)) ist [mm] \varepsilon [/mm] f [mm] \to f(u)=e^{u}.
[/mm]
Wie muss ich denn jez weiter machen?
Gruß Karlchen
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Hallo Karlchen!
Deine Geradengleichung ist falsch. Du hast die beiden Punkte [mm] $P_1 [/mm] \ [mm] \left( \ 0 \ | \ 0 \ \right)$ [/mm] sowie [mm] $P_2 [/mm] \ [mm] \left( \ u \ | \ e^u \ \right)$ [/mm] gegeben. Daraus erhält man mittels Zwei-Punkte-Form:
[mm] $$\bruch{y-0}{x-0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^u-0}{u-0} [/mm] \ \ \ \ [mm] \gdw [/mm] \ \ \ \ y \ = \ [mm] \bruch{e^u}{u}*x$$
[/mm]
Der Steigungswinkel ist maximal, wenn die Steigung $m_$ der Geraden maximal ist.
Von daher musst Du nun das Maximum der Funktion $m(u) \ = \ [mm] \bruch{e^u}{u}$ [/mm] bestimmen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
hey!
wenn ich das damm berechne erhalte ich u=0 und f(0)=1 --> P(0/1)
das wäre ja auch logisch, da der winkel dann 90° beträt. ist das denn dann alles? oder muss ich noch etwas berechnen?
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Hallo Karlchen!
Wie hast Du denn hier gerechnet, dass Du $u \ = \ 0$ erhältst? Dieser Ausdruck ist doch für $m(u) \ = \ [mm] \bruch{e^u}{u}$ [/mm] gar nicht definiert.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Karlchen |
Hey!
ja mist,das hab ich mir fast gedacht.
hab halt geschrieben [mm] e^{u}*(-u)^{-2}=0, [/mm] dachte das ginge vielleicht.
wie kann ich u denn sosnt berechnen? weil anders als über die nullstellen geht das doch gar nicht, oder?
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Hallo Karlchen!
Du musst die Steigungsfunktion $m(u) \ = \ [mm] \bruch{e^u}{u}$ [/mm] mittels  Quotientenregel ableiten und die Nullstellen der Ableitung ermitteln.
Gruß vom
Roadrunner
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