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Winkel eines Dreiecks in R3: Korrektur,Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Sa 27.10.2012
Autor: Jolle

Aufgabe
Berechnen Sie Seitenlängen und Winkel des Dreiecks im R3 mit den Eckpunkten A = (0; 1; 1), B = (1; 2; 1) und C = (1; 0; 3).

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo Community,

Ich bin gerade dabei die oben gestellte Frage zu lösen.

Mein LösungsAnsatz:

[mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \overline{0B} [/mm] - [mm] \overline{0A} [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] -  [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm]

[mm] \overline{BC} [/mm] = [mm] \overline{0C} [/mm] - [mm] \overline{0B} [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] -  [mm] \vektor{1 \\ 2\\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 2} [/mm]

[mm] \overline{CA} [/mm] = [mm] \overline{0A} [/mm] - [mm] \overline{0C} [/mm] =  [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] -  [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm]


[mm] |\overline{AB}| [/mm] =  [mm] \wurzel[]{1^2 + 1^2 + 0^2} [/mm] = [mm] \wurzel[]{2} [/mm]


[mm] |\overline{BC}| [/mm] =  [mm] \wurzel[]{0^2 + (-2)^2 + 2^2} [/mm] = 2 [mm] \wurzel[]{2} [/mm]


[mm] |\overline{CA}| [/mm] =  [mm] \wurzel[]{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2} [/mm] = [mm] \wurzel[]{6} [/mm]


[mm] \overline{AB} [/mm] * [mm] \overline{CA} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] = -1 * 1 = 0

[mm] \overline{BC} [/mm] * [mm] \overline{AB} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 2} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] = -2 * 0 = -2

[mm] \overline{BC} [/mm] * [mm] \overline{CA}| [/mm] =  [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 2} [/mm] *  [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ -2} [/mm] = -2 + -4 = -6


cos [mm] (\alpha) [/mm]  = [mm] \overline{AB} [/mm] * [mm] \overline{CA} [/mm] /  [mm] |\overline{AB}| [/mm] * [mm] |\overline{CA}| [/mm] = 0 / [mm] \wurzel[]{2} [/mm] * [mm] \wurzel[]{6} [/mm] = 0 = 90 grad


cos [mm] (\beta) [/mm]  = [mm] \overline{BC} [/mm] * [mm] \overline{AB} [/mm] /  [mm] |\overline{BC}| [/mm] * [mm] |\overline{AB}| [/mm] = -2 / 2 [mm] \wurzel[]{2} [/mm] * [mm] \wurzel[]{2} [/mm] = -0,5 = 120 grad


cos [mm] (\gamma) [/mm]  = [mm] \overline{BC} [/mm] * [mm] \overline{CA} [/mm] /  [mm] |\overline{BC}| [/mm] * [mm] |\overline{CA}| [/mm] = -6 / [mm] 2\wurzel[]{2} [/mm] * [mm] \wurzel[]{6} [/mm] = -0.866= 149,99 grad


Das ergibt ja zusammen keine 180 grad. Wo liegt da genau mein Fehler in der Berechnung ?

Vielen Dank für die Hilfe

        
Bezug
Winkel eines Dreiecks in R3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Sa 27.10.2012
Autor: M.Rex


> Berechnen Sie Seitenlängen und Winkel des Dreiecks im R3
> mit den Eckpunkten A = (0; 1; 1), B = (1; 2; 1) und C = (1;
> 0; 3).
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
> Hallo Community,

Hallo


>  
> Ich bin gerade dabei die oben gestellte Frage zu lösen.
>  
> Mein LösungsAnsatz:
>  
> [mm]\overline{AB}[/mm] = [mm]\overline{0B}[/mm] - [mm]\overline{0A}[/mm] =  [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> -  [mm]\vektor{0 \\ 1\\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]\overline{BC}[/mm] = [mm]\overline{0C}[/mm] - [mm]\overline{0B}[/mm] =  [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 3}[/mm]
> -  [mm]\vektor{1 \\ 2\\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 2}[/mm]
>  
> [mm]\overline{CA}[/mm] = [mm]\overline{0A}[/mm] - [mm]\overline{0C}[/mm] =  [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> -  [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 3}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm]
>  
>
> [mm]|\overline{AB}|[/mm] =  [mm]\wurzel[]{1^2 + 1^2 + 0^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[]{2}[/mm]
>  
>
> [mm]|\overline{BC}|[/mm] =  [mm]\wurzel[]{0^2 + (-2)^2 + 2^2}[/mm] = 2
> [mm]\wurzel[]{2}[/mm]
>  
>
> [mm]|\overline{CA}|[/mm] =  [mm]\wurzel[]{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel[]{6}[/mm]
>  
>
> [mm]\overline{AB}[/mm] * [mm]\overline{CA}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] *
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm] = -1 * 1 = 0
>  
> [mm]\overline{BC}[/mm] * [mm]\overline{AB}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 2}[/mm] *
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm] = -2 * 0 = -2
>  
> [mm]\overline{BC}[/mm] * [mm]\overline{CA}|[/mm] =  [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 2}[/mm] *  
> [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ -2}[/mm] = -2 + -4 = -6
>  
>
> cos [mm](\alpha)[/mm]  = [mm]\overline{AB}[/mm] * [mm]\overline{CA}[/mm] /  
> [mm]|\overline{AB}|[/mm] * [mm]|\overline{CA}|[/mm] = 0 / [mm]\wurzel[]{2}[/mm] *
> [mm]\wurzel[]{6}[/mm] = 0 = 90 grad
>  
>
> cos [mm](\beta)[/mm]  = [mm]\overline{BC}[/mm] * [mm]\overline{AB}[/mm] /  
> [mm]|\overline{BC}|[/mm] * [mm]|\overline{AB}|[/mm] = -2 / 2 [mm]\wurzel[]{2}[/mm] *
> [mm]\wurzel[]{2}[/mm] = -0,5 = 120 grad
>  
>
> cos [mm](\gamma)[/mm]  = [mm]\overline{BC}[/mm] * [mm]\overline{CA}[/mm] /  
> [mm]|\overline{BC}|[/mm] * [mm]|\overline{CA}|[/mm] = -6 / [mm]2\wurzel[]{2}[/mm] *
> [mm]\wurzel[]{6}[/mm] = -0.866= 149,99 grad
>  
>
> Das ergibt ja zusammen keine 180 grad. Wo liegt da genau
> mein Fehler in der Berechnung ?

Bei den Winkeln musst du die Richtung der Vektoren beachten.

[mm] \cos(\alpha)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|} [/mm]

[mm] \cos(\beta)=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{BA}|\cdot|\overrightarrow{BC}|} [/mm]

[mm] \cos(\gamma)=\frac{|\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}|}{|\overrightarrow{CA}|\cdot|\overrightarrow{CB}|} [/mm]


>
> Vielen Dank für die Hilfe
>  

Marius

Bezug
                
Bezug
Winkel eines Dreiecks in R3: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Sa 27.10.2012
Autor: Jolle

Natürlich :)

Vielen Dank!
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