Winkel alpha bestimmen < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Mubidoo |
| Aufgabe | | cos [mm] \alpha [/mm] + [mm] \bruch{10}{3} [/mm] sin [mm] \alpha [/mm] = 2 |
Liebe Mathefreunde !
Ich kenne das Ergebnis. Aus der Aufgabenstellung kann man auch direkt sehen, dass es ein Winkel zwischen 0° und 90° ist. Es gibt also nur eine Lösung.
Meine Frage ist : Gibt es, ausser durch Raten und Einsetzen, eine rechnerische Möglichkeit den Winkel [mm] \alpha [/mm] zu errechnen ?
Ich hab mir auch schon die Additionstheoreme angesehen und nichts brauchbares gefunden. Hab ich vielleicht etwas übersehen ?
mfG
Mubidoo
[Ich habe diese Frage nirgendswo im Internet ausser auf dieser Seite gestellt.]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mubidoo,
bei diesem Typ Aufgaben gibt es leider keinen allgemeingültigen Lösungsansatz. Man braucht etwas Fingerspitzengefühl und sollte die Zusammenhänge zwischen den trigonometrischen Funktionen kennen. Eine Methode, die häufiger, aber nicht immer, zum Ziel führt, ist die, die Terme der Gleichung so umzuschreiben, dass nur gleichartige Terme in dieser neuen Gleichung vorkommen, z.B. nur Sinus- oder nur Cosinusterme, und dass diese Terme das gleiche Argument haben. Dann kommt man durch Substitution häufig weiter, indem man aus der trigonometrischen Gleichung eine algebraische Gleichung mit unterschiedlichen Potenzen macht. Der trigonomerische Term wird dabei durch x ersetzt, quadratische Funktionen durch [mm] x^2 [/mm] etc. Bei Deiner Gleichung habe ich einiges ausprobiert, kam aber auch zu keinem Lösungsansatz der oben beschriebenen Art.
Dann bleibt natürlich immer noch die Möglichkeit einer numerischen Lösung durch ein Nullstellenverfahren.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Mubidoo |
Hallo infinit !
Zunächst einmal danke für Deine schnelle und allgemeine Antwort. Das von Dir beschriebene Substitutionsverfahren ist mir bekannt, allerdings sehe ich bei dieser Aufgabe auch keine Möglichkeit Kreisfunktion und Argument anzugleichen. Es geht nur das eine oder das andere...
Ich habe mir die Musterlösung vom Professor abgeschrieben, unten drunter stand nur noch die Lösung mit einem eingesetzten Winkel, mit einem Ergebnis, welches der Zahl 2 sehr nahe kam. Es war keine Rechnung zu sehen. Ich vermute es lässt sich wirklich nur durch Schätzen und Einsetzen lösen, was in 6-7Schritten bis auf die vierte Stelle hinter dem Komma exakt möglich ist. Das ist zwar auch eine allgmeine Lösung, verursacht aber einen höheren Zeitverbrauch als es ein Rechenweg tun würde.
Was meinst Du mit einer Möglichkeit einer numerischen Lösung durch ein Nullstellenverfahren. Das hört sich interessant an, lässt sich das Verfahren auch für diese Aufgabe anwenden ?
mfG
Mubidoo
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> [mm]\cos\alpha + \bruch{10}{3}\sin \alpha = 2[/mm]
> Liebe Mathefreunde !
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> Ich kenne das Ergebnis. Aus der Aufgabenstellung kann man
> auch direkt sehen, dass es ein Winkel zwischen 0° und 90°
> ist. Es gibt also nur eine Lösung.
> Meine Frage ist : Gibt es, ausser durch Raten und
> Einsetzen, eine rechnerische Möglichkeit den Winkel [mm]\alpha[/mm]
> zu errechnen ?
> Ich hab mir auch schon die Additionstheoreme angesehen und
> nichts brauchbares gefunden. Hab ich vielleicht etwas
> übersehen ?
Offenbar, denn eine Gleichung der Form
[mm] [center]$a\cdot \cos(\alpha)+b\cdot\sin(\alpha)=c$[/center]
[/mm]
kann man, durch beidseitige Division durch [mm] $\sqrt{a^2+b^2}$, [/mm] auf die Form
[mm]\cos(\alpha)\cdot\cos(\alpha_0)+\sin(\alpha)\cdot\sin(\alpha_0)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/mm]
bringen, deren linke Seite nichts anderes als [mm] $\cos(\alpha-\alpha_0)$ [/mm] ist. Somit erhält man die leicht nach [mm] $\alpha-\alpha_0$ [/mm] auflösbare Gleichung
[mm]\cos(\alpha-\alpha_0)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Dabei ist $\alpha_0$ durch die beiden Gleichungen $\cos(\alpha_0)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ und $\sin(\alpha_0)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}$ eindeutig bestimmt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Mubidoo |
[mm] \alpha_{0} [/mm] ist 73,3°
Wie errechne ich jetzt [mm] \alpha [/mm] ?
Sorry, wenn ich so viel frage, aber ich brauche bei diesen trigonometrischen Aufgaben noch etwas Hilfe - die hab ich noch nie gemocht.
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> [mm]\alpha_{0}[/mm] ist 73,3°
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> Wie errechne ich jetzt [mm]\alpha[/mm] ?
Wie ich geschrieben habe, gilt die Beziehung
[mm] [center]$\cos(\alpha-\alpha_0)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$[/center]
[/mm]
Also folgt, durch beideseitiges Anwenden von [mm] $\cos^{-1}$ [/mm] und Addieren von [mm] $\alpha_0$,
[/mm]
[mm] [center]$\alpha=\alpha_0+\cos^{-1}\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$[/center]
[/mm]
Beachte aber, dass die Anwendung von [mm] $\cos^{-1}$ [/mm] streng genommen auf unendlich viele Lösungen führt. - Du musst dann halt diejenige Lösung herauspflücken, die Dir am besten gefällt 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Mubidoo |
Hallo nochmal !
Ich habs jetzt mal durchgerechnet...
[mm] \alpha [/mm] = 73,3° + [mm] arccos(\bruch{2}{\wurzel{1+\bruch{100}{9}}}) [/mm] = 73,3° + [mm] arccos(\bruch{2}{\wurzel{\bruch{109}{9}}}) [/mm] = 73,3° + 54,9° = 128,2°
Das kann nicht sein !
Was kann man sich jetzt aussuchen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo nochmal !
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> Ich habs jetzt mal durchgerechnet...
>
> [mm]\alpha[/mm] = 73,3° +
> [mm]arccos(\bruch{2}{\wurzel{1+\bruch{100}{9}}})[/mm] = 73,3° +
> [mm]arccos(\bruch{2}{\wurzel{\bruch{109}{9}}})[/mm] = 73,3° + 54,9°
> = 128,2°
>
> Das kann nicht sein !
Doch, doch, dies ist (ungefähr) eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, denn wenn man diesen Wert einsetzt, ergibt die linke Seite [mm] $\approx [/mm] 2.001$. Dies ist gewiss nahe genug beim gewünschten Wert (der rechten Seite der Gleichung), nämlich $2$.
> Was kann man sich jetzt aussuchen ?
[mm] $\arccos$ [/mm] ist eben nicht eindeutig: der liefert eine unendliche Menge von möglichen Lösungen [mm] $\pm 54.9^\circ+n\cdot 360^\circ$, [/mm] wobei [mm] $n\in \IZ$ [/mm] beliebig gewählt werden kann. Man kann also z.B. auch [mm] $54.9^\circ$ [/mm] subtrahieren...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 So 18.11.2007 | | Autor: | Mubidoo |
Jetzt ist alles klar, weil ich als Winkel 18,38° erraten hatte.
128,2° - 2 * (54,9°) = 18,4°
Dann passt es ja ziemlich genau. Ich denke ich habe es jetzt richtig verstanden.
Lieben Gruß
Mubidoo
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