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N'Abend !
Ich überlege schon die ganze Zeit,
bei manchen Aufgaben ist die Formel mit Betragsstrichen, bei
manchen ohne.
Gibt es da eine Regel, sodass ich darauf morgen in der Klausur zurückgreifen kann ?
Ohne Betragsstriche steht manchmal: Schnittwinkel 0° [mm] \le \alpha\le [/mm] 90°
und nichts negatives.
Also es geht um cos [mm] \alpha=\bruch{| \vec{a} *\vec{b} |
}{ |\vec{a}|*|\vec{b}| } [/mm]
bzw.
bzw. cos [mm] \alpha=\bruch{ \vec{a} *\vec{b}
}{ |\vec{a}|*|\vec{b}| } [/mm]
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Di 20.12.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo MacChevap,
> Ich überlege schon die ganze Zeit,
> bei manchen Aufgaben ist die Formel mit Betragsstrichen,
> bei
> manchen ohne.
> Gibt es da eine Regel, sodass ich darauf morgen in der
> Klausur zurückgreifen kann ?
>
> Ohne Betragsstriche steht manchmal: Schnittwinkel 0° [mm]\le \alpha\le[/mm]
> 90°
> und nichts negatives.
>
> Also es geht um cos [mm]\alpha=\bruch{| \vec{a} *\vec{b} | }{ |\vec{a}|*|\vec{b}| }[/mm]
Mit dieser Formel erhältst Du Winkel zwischen [mm] $0°\le \alpha\le [/mm] 90°$.
> bzw.
>
> bzw. cos [mm]\alpha=\bruch{ \vec{a} *\vec{b} }{ |\vec{a}|*|\vec{b}| }[/mm]
Hier können auch Winkel größer 90° entstehen.
Beim Schnitt von Gerade/Gerade, Gerade/Ebene, Ebene/Ebene etc. entstehen ja zwei Winkel, die Nebenwinkel sind und sich deswegen zu 180° ergänzen. Als Schnittwinkel nimmt man vereinbarungsgemäß dann denjenigen Winkel, der kleiner als 90° ist.
Bei Deiner zweiten Formel (der ohne Betragsstriche) ist gegebenenfalls nicht derjenige Winkel der Schnittwinkel, den der Taschenrechner angibt, sondern dessen Nebenwinkel [mm] ($180°-\alpha$).
[/mm]
Mit Deiner ersten Formel sparst Du Dir diese Überlegung: Sie liefert immer denjenigen der beiden Winkel, der [mm] $\le [/mm] 90°$ ist, also den Schnittwinkel.
Bei zwei Objekten, die eine Richtung haben (z.B. zwei Vektoren), ist es aber durchaus sinnvoll, mit Winkeln größer 90° die Lagebeziehung zu beschreiben; aber dort spricht man --denke ich-- auch nicht von Schnittwinkeln.
Viel Erfolg für Deine Klausur,
Marc
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| Aufgabe | 1.) Die Punkte A(2/7/5), B(-2/7/8), C(0/-1/4) und D(4/-1/1) bilden ein
Parallelogramm. Bestimmen Sie die Innenwinkel des Paralellogramms ABCD.
2.)Die Spurgeraden der dargestellten Ebene schließen drei Winkel ein.
Bestimmen sie die Winkel. |
Guten Abend.
Ich sehe in diesen Frage keine Schlüsselwort, das darauf schließen lässt, welche
Formel nun die richtige zur Verwendung sei.
1.) Der Winkel bei A: [mm] \alpha=115,88° [/mm] also war's die Formel ohne Betragsstriche und das noch
in einem Parallelogramm, in dem man kleine Winkel(<90°) vermuten könnte.
2.) Da man das Bild nicht sieht, hier gleich die Vektoren
Lösung
Richtungsvektor der Spurgeraden S12: u=(-5/4/0)
Richtungsvektor der Spurgeraden S13:v=(-5/0/3)
" " " S23:w=(0/-4/3)
Winkel zwischen der Spurgeraden S12 und S13 [mm] \alpha=48° [/mm] gerechnet
wurde ohne Betragsstriche.
Ich hab's mir so gemerkt, Allgmein: Bei Richtungsvektoren immer mit Beträgen,
bei einfachen Punkten z.B. AB AC (Winkel dazwischen) ohne Beträge,
jedenfalls war das bisher in allen Beispielen so(Vollständige Indukion ;) )
Aber bleibt trotzdem noch fragwürdig, wann welche Formel,
die Ergebnisse können sich erheblich unterscheiden => 0 P.
Jedenfalls Danke für deine Antwort am späten Abend,
ich bin zu müde um den Formeleditor zu bemühen, sorry dafür.
Ich schlaf jetzt ein paar Stunden und guck morgen früh noch mal rein,
wenn dir irgendwelche Schlüsselwörter für die Formeln einfallen, sag bescheid.
Gut's Nächtle ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Di 20.12.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo,
habe deine Nachfrage leider erst jetzt gesehen (so spät für eine Klausur zu lernen ist aber auch nicht sinnvoll ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") )
> 1.) Die Punkte A(2/7/5), B(-2/7/8), C(0/-1/4) und D(4/-1/1)
> bilden ein
> Parallelogramm. Bestimmen Sie die Innenwinkel des
> Paralellogramms ABCD.
>
> 2.)Die Spurgeraden der dargestellten Ebene schließen drei
> Winkel ein.
> Bestimmen sie die Winkel.
> Guten Abend.
>
> Ich sehe in diesen Frage keine Schlüsselwort, das darauf
> schließen lässt, welche
> Formel nun die richtige zur Verwendung sei.
>
> 1.) Der Winkel bei A: [mm]\alpha=115,88°[/mm] also war's die Formel
> ohne Betragsstriche und das noch
> in einem Parallelogramm, in dem man kleine Winkel(<90°)
> vermuten könnte.
Ja, in einem Parallelogram können stumpfe Winkel (>90°) auftreten, also sollte die Formel ohne Betragstriche verwendet werden.
Die Innenwinkel werden ja von den Seitenvektoren gebildet, die durchaus eine Richtung haben:
[mm] $\alpha=\angle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})$
[/mm]
[mm] $\beta=\angle(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})$
[/mm]
[mm] $\gamma=\angle(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CD})$
[/mm]
[mm] $\delta=\angle(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DA})$
[/mm]
> 2.) Da man das Bild nicht sieht, hier gleich die Vektoren
> Lösung
> Richtungsvektor der Spurgeraden S12: u=(-5/4/0)
> Richtungsvektor der Spurgeraden S13:v=(-5/0/3)
> " " "
> S23:w=(0/-4/3)
>
> Winkel zwischen der Spurgeraden S12 und S13 [mm]\alpha=48°[/mm]
> gerechnet
> wurde ohne Betragsstriche.
Auch hier sind die Innenwinkel (eines Dreiecks) gefragt, und (auf den ersten Blick) nicht nach den Schnittwinkeln der Spurgeraden.
Also Formel ohne Betragstriche anwenden, allerdings ist wie oben auf die Orientierung der Vektoren zu achten.
Ich behaupte aber mal, dass ein "Spurdreieck" keine stumpfen Innenwinkel haben kann, so dass du dir hier aussuchen kannst:
1. Auf Orientierung der Vektoren achten und Formel ohne Betragstriche anwenden;
2. Orientierung ignorieren und Formel mit Betragstrichen anwenden.
> Ich hab's mir so gemerkt, Allgmein: Bei Richtungsvektoren
> immer mit Beträgen,
> bei einfachen Punkten z.B. AB AC (Winkel dazwischen) ohne
> Beträge,
> jedenfalls war das bisher in allen Beispielen
> so(Vollständige Indukion ;) )
Dieser "Merksatz" dürfte für die Klausur reichen 
Viele Grüße,
Marc
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