Windschiefe Geraden nächster P < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Di 21.11.2006 | | Autor: | cjb |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe gelernt, wie man den Abstand zweier windschiefer Geraden berechnet.
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs8/seite34.html
Wie berechnen sich aber die beiden Punkte deren Richtungsvektor Betrag dieses Abstandes ist. Die Geraden liegen in Punkt-Richtungs-Form vor.
Eigentlich benötige ich nur die Formel für einen der beiden Punkte, aber die Herleitung würde mich auch interessieren. Mein Mathe reicht dafür leider nicht aus bzw ist zu lange her und ich habe im Internet nichts entsprechendes gefunden.
Da ich weder Schüler noch Student bin ich für die Hilfe bereit 50 zu spenden.
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Hi, cjb,
Eine "Formel" kann ich Dir dazu nicht liefern, aber eine mögliche Berechnungsmethode:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda*\vec{u}
[/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \mu*\vec{v}
[/mm]
Nennen wir die beiden Lotfußpunkte: P bzw. Q
Ihre zugehörigen Ortsvektoren sind dann (weil ja P auf g liegt und Q auf h):
[mm] \vec{p} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \lambda*\vec{u} [/mm]
[mm] \vec{q} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \mu*\vec{v}
[/mm]
(mit geeigneten Werten für [mm] \lamda [/mm] bzw. [mm] \mu)
[/mm]
Und somit: [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] = [mm] \vec{q} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \mu*\vec{v} -\vec{a} [/mm] - [mm] \lambda*\vec{u}
[/mm]
("Spitze minus Fuß"!)
Weiter gilt:
I. [mm] \overrightarrow{PQ} \perp \vec{u}
[/mm]
II. [mm] \overrightarrow{PQ} \perp \vec{v}
[/mm]
(Weil das gemeinsame Lot PQ ja senkrecht auf beiden Geraden und somit auf beiden Richtungsvektoren steht!)
Somit hilft das Skalarprodukt:
I. [mm] \overrightarrow{PQ} \circ \vec{u} [/mm] = 0
II. [mm] \overrightarrow{PQ} \circ \vec{v} [/mm] = 0
Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit den zwei Variablen
[mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu, [/mm] die Du leicht berechnen kannst.
Und wenn Du die Parameter kennst, kennst Du auch die zugehörigen Punkte P und Q.
mfG!
Zwerglein
PS: Wenn Dir diese Antwort wirklich 50 wert ist, wende Dich bitte an Marc (= Marc O.Sandlus). Der kann das Geld als Mitgliederspende sicher SEEEEHR gut brauchen! ![[biggrin]](/images/smileys/biggrin.gif "[biggrin]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Mi 22.11.2006 | | Autor: | cjb |
Dann habe ich die 2 Gleichungen
I. $ [mm] \vec{b} [/mm] $ + $ [mm] \mu\cdot{}\vec{v} -\vec{a} [/mm] $ - $ [mm] \lambda\cdot{}\vec{u} [/mm] $ [mm] \circ \vec{u} [/mm] = 0
II. $ [mm] \vec{b} [/mm] $ + $ [mm] \mu\cdot{}\vec{v} -\vec{a} [/mm] $ - $ [mm] \lambda\cdot{}\vec{u} [/mm] $ [mm] \circ \vec{v} [/mm] = 0
Nach Einsetzmethode muss ich jetzt II nach [mm] \lambda [/mm] oder [mm] \mu [/mm] auflösen und in I einsetzen. Was für mich wegen des Skalarproduktes leider nicht so leicht ist. Da bräuchte ich noch Hilfe.
Das mit dem Fuffi gilt sobald die Punkte berechnet sind
cjb
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Hi, cjb,
> Dann habe ich die 2 Gleichungen
>
> I. [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]\mu\cdot{}\vec{v} -\vec{a}[/mm] - [mm]\lambda\cdot{}\vec{u}[/mm] [mm]\circ \vec{u}[/mm] = 0
> II. [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]\mu\cdot{}\vec{v} -\vec{a}[/mm] - [mm]\lambda\cdot{}\vec{u}[/mm] [mm]\circ \vec{v}[/mm] = 0
Du musst Klammern setzen!
Richtig wäre:
I. [mm] (\vec{b} [/mm] + [mm] \mu\cdot{}\vec{v} -\vec{a} [/mm] - [mm] \lambda\cdot{}\vec{u})\circ \vec{u} [/mm] = 0
II. [mm] (\vec{b} [/mm] + [mm] \mu\cdot{}\vec{v} -\vec{a} [/mm] - [mm] \lambda\cdot{}\vec{u})\circ \vec{v} [/mm] = 0
Am besten, ich geb' Dir mal ein Beispiel:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 6 \\ -2} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{3 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 6} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Daraus also:
(I) [mm] (\vektor{2 \\ 5 \\ 6} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 6 \\ -2} [/mm] - [mm] \lambda*\vektor{3 \\ -2 \\ 0}) \circ \vektor{3 \\ -2 \\ 0} [/mm] = 0
(II) [mm] (\vektor{2 \\ 5 \\ 6} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 6 \\ -2} [/mm] - [mm] \lambda*\vektor{3 \\ -2 \\ 0}) \circ \vektor{0 \\ 2 \\ 1} [/mm] = 0
Du musst jeden Vektor in der Klammer mit dem Vektor hinter der Klammer multiplizieren.
Daher:
(I) -4 - [mm] 4\mu [/mm] + 9 - [mm] 13\lambda [/mm] = 0
(II) 16 + [mm] 5\mu [/mm] - 10 + [mm] 4\lambda [/mm] = 0
Das kannst Du nun sicher selbst ausrechnen!
> Das mit dem Fuffi gilt sobald die Punkte berechnet sind
Übrigens musst Du Dich natürlich NICHT dazu "genötigt" fühlen!!!
Das MatheForum hilft GERNE und OHNE finanziellen Interessen!!!
(Vielleicht kannst Du Dich ja auch als "Antwortgeber" oder "Hilfeleistender" für andere Fragesteller einbringen: Das würde uns genauso freuen - und Dir vielleicht sogar sehr viel Spaß machen!)
mfG! Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Do 23.11.2006 | | Autor: | cjb |
Danke es funktioniert :) .
Das mit der Klammer war mir klar. Hatte nur ein wenig Probleme mit dem Formel schreiben. Ich habe beim Auflösen der Gleichung nur immer in Richtung eines (inversen Skalarprodukts gedacht - gibts nicht oder!!). Dann habe ich das Gleichungssystem noch in Smalltalk (Programmiersprache) programmieren müssen und nach ein paar Anläufen lief es.
[mm] \lambda [/mm] = 1 und [mm] \mu [/mm] = -2
jetzt mache ich mich auf die Suche um den fuffi loszuwerden. Nochmals vielen Dank für die kompetente Hilfe. Gut zu wissen dass es euch gibt.
cjb
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Do 23.11.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, cjb,
> Das mit der Klammer war mir klar. Hatte nur ein wenig
> Probleme mit dem Formel schreiben. Ich habe beim Auflösen
> der Gleichung nur immer in Richtung eines (inversen
> Skalarprodukts gedacht - gibts nicht oder!!).
Ne, gibt's genauso wenig wie das "Inverse" Kreuzprodukt.
> Dann habe ich das Gleichungssystem noch in Smalltalk
> (Programmiersprache) programmieren müssen und nach ein paar
> Anläufen lief es.
>
> [mm]\lambda[/mm] = 1 und [mm]\mu[/mm] = -2
Stimmt!
> jetzt mache ich mich auf die Suche um den fuffi
> loszuwerden.
Wie gesagt: Das musst Du nicht so ernst nehmen!
Der MatheRaum hilfte GERNE und OHNE finanziellen Interessen!
> Nochmals vielen Dank für die kompetente Hilfe.
> Gut zu wissen dass es euch gibt.
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
mfG!
Zwerglein
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