Wilcoxon-Rangsummentest < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Sa 14.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Moin, ich habe nur eine kurze Frage zum Wilcoxon-Rangsummentest im Zweistichprobenfall.
Man summiert ja die Ränge entweder der einen oder der anderen Stichprobe auf.
Kann man sagen:
Die erste Stichprobe sei gemäß einer stetigen Verteilungsfunktion F und die zweite Stichprobe gemäß einer stetigen Verteilungsfunktion G verteilt.
Kann man dann sagen, daß bei dem Testproblem:
[mm] $H_0: F\geqG$ [/mm] gegen [mm] $H_1: [/mm] F<G$
Eine größere Rangsumme für die Alternative spricht, wenn ich die Ränge der zweiten Stichprobe addiere als Teststatistik? |
...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Sa 14.07.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Kann man sagen:
>
> Die erste Stichprobe sei gemäß einer stetigen
> Verteilungsfunktion F und die zweite Stichprobe gemäß
> einer stetigen Verteilungsfunktion G verteilt.
>
> Kann man dann sagen, daß bei dem Testproblem:
>
> [mm]H_0: F\geqG[/mm]
???
> gegen [mm]H_1: F
>
> Eine größere Rangsumme für die Alternative spricht, wenn
> ich die Ränge der zweiten Stichprobe addiere als
> Teststatistik?
> ...
Die Alternative besagt, dass die erste Stichprobe ( basierend auf $F_$) stochastisch groesser als die zweite (klingt widersinnig, ist aber so). Deswegen muss die Summe der zweiten Raenge *klein* sein.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Sa 14.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Die Nullhypothese sollte lauten: [mm] $F\geq [/mm] G$.
Die Idee, die dahinter steckt ist doch:
Unter der Nullhypothese sind alle möglichen Rangkombinationen gleichverteilt, also kennt man die Verteilung der Teststatistik unter der Nullhypothese, wenngleich sie ein bisschen mühsam zu ermitteln ist.
Und wenn man die Rangsumme der zweiten Stichprobe hat, muss diese doch größer sein, als das [mm] $1-\alpha$ [/mm] Quantil, um die Nullhypothese abzulehnen?
Inwiefern sprechen dann kleine Werte für die Alternative? Nicht eher große, weil es doch ein rechtseitiges Testproblem ist, wenn ich die Rangsummen der zweiten Stichprobe nehme als Teststatistik?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Sa 14.07.2012 | | Autor: | luis52 |
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier: Gewöhnliche stochastische Ordnung.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Sa 14.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Achso, unter der Nullhypothese ist G stochastisch kleiner-gleich F.
Das heißt für die Verteilung unter der Nullhypothese, dass G eher große Werte annimmt (G liegt über F oder ist mit F identisch)?
Also spricht eine große Rangsumme für die Nullhypothese?
Und der kritische Wert wird dann entsprechend recht hoch liegen, weil bis zu dem 1-alpha Quantil schon ein recht hoher Rangsummenwert erreicht sein dürfte (man betrachtet ja die Verteilung unter der Nullhypothese)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Sa 14.07.2012 | | Autor: | luis52 |
[mm] $H_0: F\geq [/mm] G [mm] \iff X\preccurlyeq [/mm] Y$. Nach dem Link folgt insbesondere
[mm] $\operatorname{E}[X]\le \operatorname{E}[Y]$ [/mm] Unter der Nullhypothese nimmt $Y_$ i.a. groessere Werte an als $X_$, also auch groessere Rangzahlen. "Zu viele" kleine Rangzahlen der y-Werte sprechen somit fuer die Alternative.
vg Luis
PS: Argumentiere mal am Beispiel von zwei Normalverteilungen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 14.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Danke, das habe ich schonmal jetzt vertanden.
Was mir noch unklar ist, wie das mit der Bestimmung des kritischen Werts zusammenhängt.
Man bestimmt für Teststatistiken ja immer die Verteilung unter der Nullhypothese, also hier auch für die Teststatistik (Summe der Ränge der y-Werte).
Ich weiß nun: Größere Rangsummen sprechen für die Nullhypothese, kleinere Rangsummen für die Alternative.
Kann man dann irgendwie sagen: Der kritische Wert wird eher eine höhere Rangsumme sein? Oder eher eine niedrigere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Sa 14.07.2012 | | Autor: | luis52 |
> Kann man dann irgendwie sagen: Der kritische Wert wird eher
> eine höhere Rangsumme sein? Oder eher eine niedrigere?
Niedrigere.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 14.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Und das 1-alpha Quantil eher eine höhere Rangsumme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Sa 14.07.2012 | | Autor: | luis52 |
Ist $S_$ die Summe der Rangzahlen der y-Werte, so lehnst du ab, wenn [mm] $S\le w_\alpha$. [/mm] Dabei ist [mm] $w_\alpha$ [/mm] das untere Quartil der Testverteilung.
M.W. wird das Verfahren auch gut beschrieben im Buch von Buening/Trenkler, auf welches du dich schon einmal berufen hast.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Sa 14.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ach, das ist ein linksseitiges Testproblem?
Ich bin jetzt von rechtsseitig ausgegangen. Da liegt wohl der Denkfehler.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Sa 14.07.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ach, das ist ein linksseitiges Testproblem?
>
Jawohl.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 So 15.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Danke, da war eine ganz schöne Unordnung in meinem Kopf.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:44 So 15.07.2012 | | Autor: | dennis2 |
Ich bin jetzt ein bisschen verwirrt!
Ich habe nochmal ins Skript gesehen und dort steht:
"Seien [mm] $P_X$ [/mm] und [mm] $P_Y$ [/mm] Verteilungen auf [mm] $(\mathbb{R},B)$ [/mm] mit Verteilungsfunktionen F und G.
[mm] $P_X$ [/mm] heißt stochastisch kleiner als [mm] $P_Y$ $(P_X\prec P_Y, F\prec [/mm] G)$ genau dann, wenn [mm] $F(x)\geq G(x)~\forall x\in\mathbb{R}$.
[/mm]
(analog [mm] $\succ, \preceq, \succeq$)."
[/mm]
Demnach müsste doch für obige Frage
[mm] $H_0: F\geq [/mm] G$ bedeuten: [mm] $H_0: F\preceq [/mm] G$
und [mm] $H_1: [/mm] F<G$ dann [mm] $H_1: F\succ [/mm] G$
Mal ein Beispiel andersherum:
Wenn ich folgendes Testproblem habe:
[mm] $H_0: F\succeq [/mm] G$ gegen [mm] $H_1: F\prec [/mm] G$.
Dann bedeutet daß doch, daß für die Alternative spricht (wenn ich wieder die y-Ränge aufsummiere als Teststatistik), wenn hohe Rangsummen rauskommen? Und unter der Nullhypothese treten eher kleinere Rangsummen auf.
Weil für die Alternative große Rangsummen sprechen, ist es doch ein rechtsseitiges Testproblem?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 17.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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