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Wiener-Prozess: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:09 Mi 17.02.2010
Autor: Mr.Teutone

Hallo Leute,

ich habe folgendes elementares Problem:

Es sei $T>0$ und es sei [mm] $(W_t)_{t\in[0,T]}$ [/mm] ein Wiener-Prozess, der an die Filtrierung [mm] $(\mathcal{F}_t)_{t\in[0,T]}$ [/mm] mit [mm] $\mathcal{F}_t=\sigma\big(\{W_s\colon s\le t\}\big)$ [/mm] und mit [mm] $\mathcal{F}_0=\{\emptyset,\Omega\}$ [/mm] adaptiert ist und es sei dabei [mm] $(\Omega,\mathcal{F},P)$ [/mm] der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum.



Es müsste doch für [mm] $t\in[0,T]$ [/mm] gelten:

[mm] $\mathbb{E}\big[W_{T-t}|\mathcal{F}_t\big]=W_t$ [/mm]  (Martingaleigenschaft für [mm] $\var{T-t>t}$, [/mm] ansonsten weil [mm] $W_{T-t}$ $\mathcal{F}_t$-messbar [/mm] ist)



und



[mm] $\mathbb{E}\big[W_{T-t}|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T-W_t|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T-W_t\big]=0$ [/mm]

(Wegen der Unabhängigkeit der Zuwächse, also weil [mm] $W_T-W_t$ [/mm] unabhängig von [mm] $\mathcal{F}_t$ [/mm] ist und wegen [mm] $W_{T-t}\stackrel{d}{=}W_T-W_t\sim\mathcal{N}(0,T-t)$.) [/mm]



Mit der Linearität der bedingten Erwartung gilt dann noch:

[mm] $\mathbb{E}\big[W_T-W_t|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T|\mathcal{F}_t\big]-\mathbb{E}\big[W_t|\mathcal{F}_t\big]=W_t-W_t=0$. [/mm]



Wo ist mein Denkfehler, es kann ja schlecht [mm] $W_t\equiv [/mm] 0$ gelten...? Ich euch für jede Hilfe dankbar.

        
Bezug
Wiener-Prozess: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:28 Mi 17.02.2010
Autor: felixf

Moin!

> [mm]\mathbb{E}\big[W_{T-t}|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T-W_t|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T-W_t\big]=0[/mm]

Hier bezweifle ich das erste Gleichheitszeichen:

> [...] und wegen
> [mm]W_{T-t}\stackrel{d}{=}W_T-W_t\sim\mathcal{N}(0,T-t)[/mm].)

Nur weil zwei Zufallsvariablen von der Verteilung her gleich sind, ist ihre bedinge Erwartung noch lange nicht gleich!

Sind etwa $X$ und $Y$ zwei identisch verteilte, jedoch unabhaengige Zufallsvariablen (die nicht fast-sicher konstant sind), so gilt $E(X | Y) = E(X)$ (also fast sicher konstant!) und $E(Y | Y) = Y$.

Nach deinem Argument muesste jedoch $E(X | Y) = E(Y | Y)$ sein.

> Mit der Linearität der bedingten Erwartung gilt dann
> noch:
>  
> [mm]\mathbb{E}\big[W_T-W_t|\mathcal{F}_t\big]=\mathbb{E}\big[W_T|\mathcal{F}_t\big]-\mathbb{E}\big[W_t|\mathcal{F}_t\big]=W_t-W_t=0[/mm].

Das stimmt schon.

Nur die Gleichheit [mm] $E(W_{T - t} [/mm] | [mm] \mathcal{F}) [/mm] = [mm] E(W_T [/mm] - [mm] W_t [/mm] | [mm] \mathcal{F})$ [/mm] stimmt nicht.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Wiener-Prozess: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:35 Mi 17.02.2010
Autor: Mr.Teutone

Hallo,

ich danke dir, das Beispiel ist sehr einleuchtend. Mit bedingten Erwartungen werde ich wohl noch viel Freude haben. ;-)

Bezug
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