Wieder einmal : MÄCHTIGKEIT < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 01.04.2007 | | Autor: | Mathmark |
Hello Folks,
in meiner Frage geht es um die Mächtigkeit von [mm] $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IN$.
[/mm]
Bekanntlich haben ja diese beiden Mengen dieselbe Mächtigkeit, beweisbar z.B. durch das Cantorsche Diagonalverfahren.
Nun habe ich mich gefragt, wenn man auf der Zahlengeraden nur das Intervall [mm] $\left[0,1\right]$ [/mm] betrachtet , dann existieren innerhalb dieses Intervalles doch unendlich viele rationale Zahlen, aber nur zwei (Null (falls in [mm] $\IN$) [/mm] und Eins) natürliche Zahlen.
Betrachtet man die Zahlenfolge:
[mm] $a_n=\frac{1}{n}$,
[/mm]
dann liefert diese Folge nur zwei natürliche Zahlen, aber unendlich viele rationale Zahlen.
Daraus folgt doch eigentlich, dass keine bijektive Abbildung existieren kann, oder ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mo 02.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hi Mark,
> in meiner Frage geht es um die Mächtigkeit von [mm]\IQ[/mm] und
> [mm]\IN[/mm].
> Bekanntlich haben ja diese beiden Mengen dieselbe
> Mächtigkeit, beweisbar z.B. durch das Cantorsche
> Diagonalverfahren.
>
> Nun habe ich mich gefragt, wenn man auf der Zahlengeraden
> nur das Intervall [mm]\left[0,1\right][/mm] betrachtet , dann
> existieren innerhalb dieses Intervalles doch unendlich
> viele rationale Zahlen, aber nur zwei (Null (falls in [mm]\IN[/mm])
> und Eins) natürliche Zahlen.
das ist kein Problem: es wurde ja nur gesagt, dass es eine bijektive Abbildung $f : [mm] \IN \to \IQ$ [/mm] gibt, aber nicht, dass diese noch bestimmte Eigenschaften erfuellt, wie z.B. alle natuerlichen Zahlen aus $[0, 1]$ auf alle rationalen Zahlen aus $[0, 1]$ abzubilden. Um alle rationalen Zahlen aus $[0, 1]$ zu bekommen, musst du beliebig hohe Zahlen aus [mm] $\IN$ [/mm] in die Bijektion einsetzen.
> Betrachtet man die Zahlenfolge:
> [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm],
> dann liefert diese Folge nur zwei natürliche Zahlen, aber
> unendlich viele rationale Zahlen.
>
> Daraus folgt doch eigentlich, dass keine bijektive
> Abbildung existieren kann, oder ???
Warum sollte das daraus folgen? Wir wissen nach dem Diagonalverfahren nur, dass es eine bijektive Abbildung [mm] $\IN \to \IQ$ [/mm] gibt. Eine beliebige Abbildung [mm] $\IN \to \IQ$ [/mm] ist meistens weder injektiv noch surjektiv.
Du kannst dir sicher leicht ueberlegen, dass es genauso viele ganze Zahlen wie gerade ganze Zahlen gibt (die Abbildung `Multiplikation mit 2' liefert eine Bijektion). Aber: die Folgen [mm] $a_n [/mm] = 2 n + 1$ liefert unendlich viele ganze Zahlen, aber keine gerade Zahl. Daraus folgt jetzt auch nicht, dass es keine Bijektion zwischen der Menge der ganzen Zahlen und der Menge der geraden ganzen Zahlen geben kann.
Liebe Gruesse
Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Mathmark |
> Hi Mark,
>
> > in meiner Frage geht es um die Mächtigkeit von [mm]\IQ[/mm] und
> > [mm]\IN[/mm].
> > Bekanntlich haben ja diese beiden Mengen dieselbe
> > Mächtigkeit, beweisbar z.B. durch das Cantorsche
> > Diagonalverfahren.
> >
> > Nun habe ich mich gefragt, wenn man auf der Zahlengeraden
> > nur das Intervall [mm]\left[0,1\right][/mm] betrachtet , dann
> > existieren innerhalb dieses Intervalles doch unendlich
> > viele rationale Zahlen, aber nur zwei (Null (falls in [mm]\IN[/mm])
> > und Eins) natürliche Zahlen.
>
> das ist kein Problem: es wurde ja nur gesagt, dass es eine
> bijektive Abbildung [mm]f : \IN \to \IQ[/mm] gibt, aber nicht, dass
> diese noch bestimmte Eigenschaften erfuellt, wie z.B. alle
> natuerlichen Zahlen aus [mm][0, 1][/mm] auf alle rationalen Zahlen
> aus [mm][0, 1][/mm] abzubilden. Um alle rationalen Zahlen aus [mm][0, 1][/mm]
> zu bekommen, musst du beliebig hohe Zahlen aus [mm]\IN[/mm] in die
> Bijektion einsetzen.
>
> > Betrachtet man die Zahlenfolge:
> > [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm],
> > dann liefert diese Folge nur zwei natürliche Zahlen,
> aber
> > unendlich viele rationale Zahlen.
> >
> > Daraus folgt doch eigentlich, dass keine bijektive
> > Abbildung existieren kann, oder ???
An dieser Stelle müsste ich es anders formulieren:
Wenn wir die Zahlenfolge [mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] betrachten, dann liefert jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine rationale Zahl $q$.
Jedoch auf dem Zahlenstrahl betrachtet sind die Folgenglieder ab dem zweiten Glied [mm] $a_i\le \frac{1}{2}$ [/mm] ,$ [mm] i\ge [/mm] 2$, woraus folgt
Es existiert kein [mm] $i\in\IN:i\ge [/mm] 2$, so dass [mm] $a_i\in\left(0.5,\infty \right]\subset\IQ$.
[/mm]
Nun haben wir für alle natürliche Zahlen eine rationale Zahl zugeordnet, es bleiben aber noch unendlich viele übrig.
Woher nehme ich weitere [mm] $n\in\IN$ [/mm] um die anderen rationalen Zahlen darzustellen ?
Aus dem unendlichen ?
>
> Wir wissen nach dem
> Diagonalverfahren nur, dass es eine bijektive Abbildung [mm]\IN \to \IQ[/mm]
> gibt. Eine beliebige Abbildung [mm]\IN \to \IQ[/mm] ist meistens
> weder injektiv noch surjektiv.
nicht surjektiv [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht gleichmächtig !
>
> Du kannst dir sicher leicht ueberlegen, dass es genauso
> viele ganze Zahlen wie gerade ganze Zahlen gibt (die
> Abbildung 'Multiplikation mit 2' liefert eine Bijektion).
> Aber: die Folgen [mm]a_n = 2 n + 1[/mm] liefert unendlich viele
> ganze Zahlen, aber keine gerade Zahl. Daraus folgt jetzt
> auch nicht, dass es keine Bijektion zwischen der Menge der
> ganzen Zahlen und der Menge der geraden ganzen Zahlen geben
> kann.
>
> Liebe Gruesse
> Felix
>
Grüße auch !!!!
Mark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Ankh |
> An dieser Stelle müsste ich es anders formulieren:
> Wenn wir die Zahlenfolge [mm]a_n=\frac{1}{n}[/mm] betrachten, dann
> liefert jedes [mm]n\in\IN[/mm] eine rationale Zahl [mm]q[/mm].
> Jedoch auf dem Zahlenstrahl betrachtet sind die
> Folgenglieder ab dem zweiten Glied [mm]a_i\le \frac{1}{2}[/mm] ,[mm] i\ge 2[/mm],
> woraus folgt
> Es existiert kein [mm]i\in\IN:i\ge 2[/mm], so dass
> [mm]a_i\in\left(0.5,\infty \right]\subset\IQ[/mm].
> Nun haben wir
> für alle natürliche Zahlen eine rationale Zahl zugeordnet,
> es bleiben aber noch unendlich viele übrig.
> Woher nehme ich weitere [mm]n\in\IN[/mm] um die anderen rationalen
> Zahlen darzustellen ?
> Aus dem unendlichen ?
[mm] $a_n=\frac{1}{n}$ [/mm] ist ja nicht die gesuchte Bijektion von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IQ, [/mm] die die Gleichmächtigkeit von [mm] \IN [/mm] und [mm] \IQ [/mm] beweist, sondern die ![[]](/images/popup.gif) hier beschriebene Funktion.
> > Wir wissen nach dem
> > Diagonalverfahren nur, dass es eine bijektive Abbildung [mm]\IN \to \IQ[/mm]
> > gibt. Eine beliebige Abbildung [mm]\IN \to \IQ[/mm] ist meistens
> > weder injektiv noch surjektiv.
> nicht surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] nicht gleichmächtig !
Felix sprach hier von (irgend-)einer beliebigen Abbildung [mm] \IN \to \IQ, [/mm] die "meistens" nicht surjektiv ist. Das heißt, NICHT JEDE Abbildung [mm] \IN \to \IQ [/mm] ist surjektiv. Es existiert aber EINE bijektive Abbildung, daher sind beide Zahlenmengen gleichmächtig.
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Gleiche Mächtigkeit heißt nicht, dass jedes Element der einen auch in der anderen Menge vorkommen muss. So könntest du z.B.
alle Zahlen n aus [mm] \IN [/mm] auf n+10 abbilden. Das "Ergebnis" wäre aber ebenfalls die Menge [mm] \IN [/mm] ohne die ersten 10 Zahlen. Obwohl die Ergebnis- oder Wertemenge eine echte Untermenge von [mm] \IN [/mm] ist, habe beide die selbe Mächtigkeit.
Nimmst du alle Zahlen aus [0|1] mit 24 mal, erhältst du alle Zahlen aus dem Intervall [0|24]. Obwohl du im zweiten Intervall 24 ganze Zahlen hast, im ersten aber nur 2, und obwohl das erste ein Teilintervall mit nur 1/24 der Länge des zweiten ist, sind beide Mengen gleich mächtig.
Noch etwas Verrücktes: Stelle dir ein 8x8-Schachbrett vor. Jeder Punkt lässt sich umkehrbar eindeutig auf eine Zahl aus [0|1] abbilden, z.B. so:
Jeden Punkt auf dem Schachbrett erfassen wir durch seinen x- und y-Wert (x und y aus [0|8]). Nun dividieren wir jeden x- und y-Wert durch 8 und erhalten Zahlen zwischen 0 und 1 einschließlich. Dabei wollen wir nun vereinbaren, für 1 einfach 0,99999999... zu schreiben; also ist nun jedem Punkt des Schachbrettes eindeutig umkehrbar ein x- und y-Wert der Form 0,abcde... zugeordnet. Nun mischen wir wie folgt aus jedem Paar eine neue Zahl: Aus x=0,2233444608...
und y = 0,7811999517... machen wir z = 0,27283131494949650187.. , d.h. wir schreiben 0, und nehmen immer abwechselnd die Nachkomma-Ziffern von x und y für die neue Zahl. Somit erhalten wir ein z aus [0|1].
Umgekehrt lässt sich z.B. aus z = 0,123456789040506 wieder x=0,13579456 und y=0,2468000 gewinnen. Mit 8 multipliziert haben wir dann wieder einen Punkt auf dem 8x8-Schachbrett.
Das Verfahren zeigt: die Menge aller Punkte eines Schachbrettes ist gleichmächtig mit der Menge des Intervalls [0|1], obwohl das eine zwei- und das andere eindimensional ist!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mi 04.04.2007 | | Autor: | Mathmark |
Vielen Dank erstmal für Eure Antworten !
Das Diagonalprinzip von Cantor ist ja
$1/1$ $2/1$ $3/1$ $4/1$ $...$
$1/2$ $2/2$ $3/2$ $4/2$ $...$
$1/3$ $2/3$ $3/3$ $4/3$ $...$
$1/4$ $2/4$ $3/4$ $4/4$ $...$
$.$
$.$
Dann werden natürlich zunächst die gleichen Brüche gestrichen.
Bleibt theoretisch übrig:
$1/1$ $2/1$ $3/1$ $4/1$ $...$
$1/2$ $3/2$ $...$
$1/3$ $2/3$ $4/3$ $...$
$1/4$ $3/4$ $...$
$.$
$.$
Nun ist ja mal interessant, dass für die erste Spalte gilt:
[mm] $a_n=\frac{1}{n}$.
[/mm]
Es ist nur eine Teilfolge der gesamten Folge (die alle Elemente aus [mm] $\IQ$ [/mm] darstellt), benötigt aber alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] um fast alle Brüche zwischen $0$ und $1$ darzustellen. Für mich ein Widerspruch.
Es geht sicherlich an dieser Stelle um den philosophischen Standpunkt der Abzählbarkeit.(Ich könnte sie durchnummerieren)
Aber rein mathematisch behaupte ich, [mm] $\IQ$ [/mm] ist mächtiger als [mm] $\IN$.
[/mm]
Denn wenn wir die Unendlichkeit beliebig erweitern können (da ja unendlich plus eins schon wieder größer ist((aber abzählbar))),
wäre ja dann auch [mm] $\IR$ [/mm] gleichmächtig wie [mm] $\IN$.
[/mm]
Denn jede reelle Zahl ist ja ein Grenzwert aus Folgen von rationalen Zahlen.
Vor Allem laufen auch diese Folgen über [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Beispiel:
[mm] $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
d.h.
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=e$ [/mm]
Was sagt ihr ?
Gruß Mark
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:48 Do 05.04.2007 | | Autor: | Ankh |
> Es geht sicherlich an dieser Stelle um den philosophischen
> Standpunkt der Abzählbarkeit.(Ich könnte sie
> durchnummerieren)
> Aber rein mathematisch behaupte ich, [mm]\IQ[/mm] ist mächtiger als
> [mm]\IN[/mm].
Rein mathematisch gibt es eine Definition für die Gleichmächtigkeit, und zwar sind zwei Mengen gleichmächtig, wenn eine Bijektion zwischen ihnen existiert. Daher ist [mm] \IQ [/mm] gleichmächtig zu [mm] \IN, [/mm] aber nicht zu [mm] \IR.
[/mm]
Du argumentierst hier mit der Intuition, die eine Menge hätte mehr Elemente als die andere. Das ist aber falsch, denn erstens sind beide Mengen unendlich, die Anzahl ihrer Elemente ist keine natürliche Zahl, und zweitens zeigt gerade das Diagonalisierungsverfahren, dass man durch Umbenennung der Elemente diese Intuition aushebeln kann.
Was jedoch gilt, ist eine echte Teilmengenbeziehung: [mm] \IN \subset \IQ \subset \IR, [/mm] aber genauso existieren unendlich viele andere (unendliche) echte Teilmengen von [mm] \IN, [/mm] die ebenso abzählbar sind. Es ergibt wenig Sinn, für jede dieser Mengen eine neue Klasse zu definieren, deshalb unterscheidet man (nur) zwischen abzählbar unendlichen und überabzahlbar unendlichen Mengen.
> Denn wenn wir die Unendlichkeit beliebig erweitern können
> (da ja unendlich plus eins schon wieder größer ist((aber
> abzählbar))),
> wäre ja dann auch [mm]\IR[/mm] gleichmächtig wie [mm]\IN[/mm].
> Denn jede reelle Zahl ist ja ein Grenzwert aus Folgen von
> rationalen Zahlen.
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