Wie wurde umgeformt < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] 2^{n} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] mit [mm] n\ge [/mm] 5
Induktion |
Hallo,
ich habe eine Frage zum IS , da ich eine Umformung nicht nachvollziehen kann
Induktionsanfang : n=5 : [mm] 2^{5} [/mm] = 32 > 25 = [mm] 5^{2}
[/mm]
Induktioktionsschritt:
n-> n+1
[mm] 2^{n+1} [/mm] = [mm] 2*2^{n} [/mm] > [mm] 2*n^{2} [/mm] = [mm] n^{2} +n^{2} [/mm] > [mm] n^{2}+3n [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] +2n +1 = [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
Ich verstehe das nicht:
[mm] n^{2} +n^{2} [/mm] > [mm] n^{2}+3n [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] +2n +1
[mm] n^{2} +n^{2} [/mm] verstehe ich noch , aber wie kommen die auf +3n ?
Danke im Voraus.
|
|
| |
|
> [mm]2^{n}[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] mit [mm]n\ge[/mm] 5
> Induktion
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zum IS , da ich eine Umformung nicht
> nachvollziehen kann
>
> Induktionsanfang : n=5 : [mm]2^{5}[/mm] = 32 > 25 = [mm]5^{2}[/mm]
>
> Induktioktionsschritt:
> n-> n+1
>
> [mm]2^{n+1}[/mm] = [mm]2*2^{n}[/mm] > [mm]2*n^{2}[/mm] = [mm]n^{2} +n^{2}[/mm] > [mm]n^{2}+3n[/mm] >
> [mm]n^{2}[/mm] +2n +1 = [mm](n+1)^{2}[/mm]
>
> Ich verstehe das nicht:
>
> [mm]n^{2} +n^{2}[/mm] > [mm]n^{2}+3n[/mm] > [mm]n^{2}[/mm] +2n +1
>
> [mm]n^{2} +n^{2}[/mm] verstehe ich noch , aber wie kommen die auf
> +3n ?
Hallo,
na, es ist doch [mm] n\ge [/mm] 5.
Also ist [mm] n^2=n*n\ge [/mm] 5*n, und 5*n ist größer als 3*n.
Wir haben also
[mm] n^2+n^2>n^2+3n=n^2+2n+n\ge n^2+2n+5>n^2+2n+1
[/mm]
LG Angela
> Danke im Voraus.
|
|
|
| |
|
Hallo,
aber wieso denn größer als 3n , wieso unbedingt 3n ?
|
|
|
| |
|
Hallo pc-doctor,
> aber wieso denn größer als 3n , wieso unbedingt 3n ?
Weil das eine geschickte Abschätzung ist, die einem den Induktionsschritt erleichtert. Natürlich hätte man auch [mm] >\wurzel{21}n [/mm] nehmen können, sich dann aber danach einen Wolf gerechnet.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Also könnte ich auch 4n , 5n oder 6n nehmen ja ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Also könnte ich auch 4n , 5n oder 6n nehmen ja ?
Wie funktioniert der Induktionsschritt?
Ziel: Zeigen der Aussage für [mm] $n\to [/mm] n+1$
Dabei setzt du deine IV ein und fasst zusammen.
Dann gelangst du an den Punkt, an dem du dich fragst:
Wo will ich hier eigentlich hin?
Deshalb schreibt man auch gerne direkt hin was gezeigt werden soll.
In deinem Beispiel kommst du, nachdem du die IV eingesetzt hast, bei [mm] 2n^2 [/mm] an.
Jetzt kommt:
Wo will ich hier eigentlich hin?
Antwort:
Ich will zu [mm] $(n+1)^2$, [/mm] also fängst du hinten an, also:
[mm] n^2+2n+1=(n+1)^2
[/mm]
Es muss also irgendwie gelten:
[mm] 2n^2>\ldots>n^2+2n+1
[/mm]
Die Punkte musst du nun ausfüllen.
Das ist wie bei der [mm] \epsilon-Konvergenz.
[/mm]
Du machst dir vorher Gedanken und schreibst den Beweis hin und alle denken, das es Magie ist 
Wieso gilt nun [mm] 2n^2>n^2+2n+1?
[/mm]
[mm] 2n^2=n^2+n^2>n^2+1000n>n^2+999n>\ldots>n^2+3n
[/mm]
Wieso $3n$? Weil wir zu $2n+1$ wollen. Damit ist es nur deutlicher und schöner!
[mm] >n^2+2n+1=(n+1)^2
[/mm]
DieAcht
|
|
|
| |
|
Das heißt also , ich muss nicht immer von links nach rechts gehen ? Wenn ich auf [mm] (n+1)^{2} [/mm] kommen will , kann ich das erstmal umformen und auch so von rechts nach links gehen , oder ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Sa 04.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Das heißt also , ich muss nicht immer von links nach
> rechts gehen ? Wenn ich auf [mm](n+1)^{2}[/mm] kommen will , kann
> ich das erstmal umformen und auch so von rechts nach links
> gehen , oder ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du musst nicht immer von links nach rechts beweisen.
Du kannst es auch umdrehen. Ob es einfacher wird ist aber nicht gesichert!
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Sa 04.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Oh jetzt , wird mir einiges klarer. Alles klar vielen vielen Dank für die ganzen Antworten.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> aber wieso denn größer als 3n , wieso unbedingt 3n ?
Hallo,
weil's
1. nicht falsch ist
und
2. funktioniert.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Sa 04.01.2014 | | Autor: | pc_doctor |
Echt krass , hätte ich nicht gedacht , dass man das so mit Abschätzung und so macht. Noch was dazu gelernt. Danke !
|
|
|
|
