Wie Vektorraum bestimmen? < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Do 10.03.2011 | | Autor: | Amicus |
| Aufgabe | Es sei ein Vektorraum V = IR >0 . In V sei eine Addition „ + “ erklärt durch x + y = xy und eine S - Multiplikation durch rx = [mm] x^r.
[/mm]
Zeige, dass V mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum bildet! |
Ich hab leider überhaupt keine Ahnung, wie die Aufgabe zu lösen ist, daher hoffe ich, dass ihr mir weiterhelfen könnt!
LG
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Hallo Amicus,
> Es sei ein Vektorraum V = IR >0 . In V sei eine Addition
> „ + “ erklärt durch x + y = xy und eine S -
> Multiplikation durch rx = [mm]x^r.[/mm]
> Zeige, dass V mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum
> bildet!
>
>
>
> Ich hab leider überhaupt keine Ahnung, wie die Aufgabe zu
> lösen ist, daher hoffe ich, dass ihr mir weiterhelfen
> könnt!
Überprüfe die ![[]](/images/popup.gif) Vektorraumaxiome.
>
> LG
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Do 10.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Also muss ich jetzt quasi überprüfen, ob das gemischte Assoziativgesetz, Distributivgesetz für Skalare, D. f. Vektoren und die Multiplikation mit 1 gelten. Wie genau schreibe ich das auf, damit mein Lehrer da auch druchblickt?
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Hallo Amicus,
> Also muss ich jetzt quasi überprüfen, ob das gemischte
> Assoziativgesetz, Distributivgesetz für Skalare, D. f.
> Vektoren und die Multiplikation mit 1 gelten. Wie genau
> schreibe ich das auf, damit mein Lehrer da auch
> druchblickt?
Klappere die Axiome eines nach dem anderen ab.
Zunächst zeige, dass [mm] $\IR^{>0}$ [/mm] mit der Verknüpfung "+" eine kommutative Gruppe bildet.
Dazu gehört:
1) Abgeschlossenheit
2) Assoziativgesetz bzgl. "+"
3) Existenz eines neutr. Elementes [mm] $n\in\IR^{>0}, [/mm] so dass für alle Elemente [mm] $x\in\IR^{>0}$ [/mm] gilt: $x+n=n+x=x$
4) Existenz eines (bzgl. "+" inversen Elementes zu jedem Element [mm] $x\in\IR^{>0}$
[/mm]
5) Kommutativgesetz
Das musst du alles zeigen.
Das ist aber nur reines Hinschreiben.
Fange mal an und halte dich einfach strikt daran, wie die Verknüpfung "+" definiert ist ...
Zur Multiplikation mit Skalaren siehe nochmal genau unter dem obigen link nach, das schreibe ich jetzt nicht mehr auf.
Die Aufgabe beschränkt sich wie gesagt eigentlich auf das Hinschreiben, es ist nicht sehr schwierig.
Klappere mal alles ab, was zu zeigen ist.
Vllt. schreibst du mal die ersten paar Sachen hier auf, dann sehen wir, ob's fluppt ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Do 10.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Also ich weiß überhaupt nicht wie man Abgeschlossenheit beweist.
Dann:
Assoziativgesetz evtl so: r+(x+y)=(r+y)+x=y+(r+x) ?
Das Durcheinadner mit mal und plus verwirrt mich total!
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Hallo,
> Also ich weiß überhaupt nicht wie man Abgeschlossenheit
> beweist.
Na, du musst zeigen, dass für 2 beliebige Elemente [mm]x,y\in\IR^{>0}[/mm] gefälligst auch [mm]x+y[/mm] wieder in [mm]\IR^{>0}[/mm] "landet".
Nimm dir also solche [mm]x,y>0[/mm] und reell her.
Dann ist [mm]x+y=xy[/mm] nach Def. von "+"
Und das Produkt zweier positiver reeller Zahlen ist auch wieder positiv und reell, also [mm]x+y=xy\in\IR^{>0}[/mm]
Fertig ist die Abgeschlossenheit ...
Das ist also fast nur Hinschreiben und kurz argumentieren ...
> Dann:
> Assoziativgesetz evtl so: r+(x+y)=(r+y)+x=y+(r+x) ?
Nehmen wir lieber [mm]x,y,z[/mm] als Namen für die Vektoren, r ist eher für die Skalare reserviert (ist aber eigentlich egal)
Also [mm]x+(y+z)=x+(yz)[/mm] wieder nach Def. von "+"
[mm]=x\ldots(yz)=\ldots=(x+y)+z[/mm]
Fülle die Pünktchen mal aus, wende immer wieder die Def. von "+" an ...
Zu der Verträglichkeit mit der skalaren Mult. kommen wir nachher, wenn der erste Teil steht, ok?
>
> Das Durcheinadner mit mal und plus verwirrt mich total!
Ja, das ist am Anfang wohl so 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 10.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Wenn x+(y+z)=x+(yz) ist, dann gilt nach der Definition von "+":
x+(y+z)=x+(yz)=x(yz)=(xy)z=(xy)+z=(x+y)+z
Ist das so jetzt korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Do 10.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja.
aber immer dazu schreiben, welche eigenschaft eines VR du grade zeigst.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Do 10.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Alles klar, danke!
Nun zum D.-gesetz für Skalare:
Kann ich da einfach mit (r+s)+x anfangen? "+" ist ja eigentlich als "mal" definiert, kann ich dann in der Klammer "+" als "plus" schreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Do 10.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
nein, den r*x ist ja als [mm] r*x=x^r [/mm] definiert, du kannst nicht den Dkalar r zu einem Vektor mit der Vekorraumverknüpfung addieren.
oder was soll dein s sein? die addition von reellen zahlen bleibt einfach, aber das willst du ja nicht. Nochmal schreib dazu, was du zeigen willst
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Ich wollte jetzt zeigen, dass das "Distributrivgesetz für Skalare" gilt. s und r sind Skalare, x ist Vektor. Wie muss ich da jetzt ansetzen, damit ich das beweisen kann?
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Hallo,
> Ich wollte jetzt zeigen, dass das "Distributrivgesetz für
> Skalare" gilt. s und r sind Skalare, x ist Vektor. Wie muss
> ich da jetzt ansetzen, damit ich das beweisen kann?
z.z. ist (s+r)x=sx+rx
Nun es ist wg Definition des Skalarprodukts:
[mm] (s+r)x=x^{s+r}=x^sx^r
[/mm]
Wegen Definition der Vektoraddition
[mm] \ldots=x^s+x^r=sx+rx.
[/mm]
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Achso! Dann kann man jetzt für das Distributivgesetz für Vektoren ja ähnlich ansetzten.
DV:
[mm] (x+y)r=r^x^+^y=r^xr^y=r^x+r^y=xr+yr
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Achso! Dann kann man jetzt für das Distributivgesetz für
> Vektoren ja ähnlich ansetzten.
>
> DV:
> [mm](x+y)r=r^x^+^y=r^xr^y=r^x+r^y=xr+yr[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Das zeigt man normalerweise linksseitig, also zz.:
[mm]r\star(x+y)=r\star x+r\star y[/mm]
Wie ist denn bei dir [mm]x\star r[/mm] definiert?
Ich lese in der Aufgabenstellung nur die Def. [mm]r\star x=x^r[/mm]
Also Vektor hoch Skalar.
Bei dir steht nach dem ersten "=" Skalar hoch Vektor ...
Statt [mm]\star[/mm] für die Mult. mit Skalaren schreibe ich nix mehr:
[mm]r(x+y)=r(x\cdot{}y)[/mm] nach Def. "+"
[mm]=(x\cdot{}y)^r[/mm] nach Def. der Mult. mit Skalaren
[mm]=x^r\cdot{}y^r=(rx)\cdot{}(ry)[/mm] warum?
[mm]=rx+ry[/mm] warum?
Und genau das war zu zeigen
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Ich dachte [mm] rx=x^r [/mm] oder [mm] xr=r^x [/mm] ist egal, dass damit nur definiert wird, was "mal" bedeutet. Daran, dass das noch Vektor und Skalar unterschieden wird, habe ich gar nicht gedacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Noch eine kleine Frage:
Inverses Element zu x ist doch dann -x, oder? Man hat ja keine feste Definition für "-", dann kann ich es doch einfach in alt bekannter Weise verwenden, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Sa 12.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
welchen Namen du dem inersen element gibst ist egal, aberdu musst ein Element aus deinem VR angeben das die eigenschaft inverses hat.
d.h.x+(-x)=n , n das neutrle element also x+n=x.
ich denke nicht, dass du dir mit der Bezeichnung -x einen Gefallen tust!
Denk an die Def. der Addition. mit -x wuerde ich das Element (-1)*x bezeichnen, was ist das mit r=-1 laut def? und dann weis nach, dass x+(-x)=n, aber ueberleg, was dein n ist.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:06 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Ich hab grade nochmal in meinen Unterlagen nachgesehen. Ich dachte, zum Beweisen des IE muss 0 rauskommen, ist aber falsch. Dein Einwand, dass -x nicht so prickelnd ist, macht dann natürlich sinn. Ich würde als IE dann eher auf [mm] \bruch{1}{x} [/mm] zurückgriefen, damit äme ja dann das NE, also in diesem Falle 1, heraus.
PS: Sollte eigentlich eine ganz normale Nachricht werden, daher kann diese Mitteilung gelöscht werden!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Amicus |
Ich hab grade nochmal in meinen Unterlagen nachgesehen. Ich dachte, zum Beweisen des IE muss 0 rauskommen, ist aber falsch. Dein Einwand, dass -x nicht so prickelnd ist, macht dann natürlich sinn. Ich würde als IE dann eher auf [mm] \bruch{1}{x} [/mm] zurückgriefen, damit käme ja dann das NE, also in diesem Falle 1, heraus. Soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:33 So 13.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, nachdem du gezeigt hast, dass 1 das neutrale element ist und 1/x dann das Inverse. und damit auch (-1)*x
Gruss leduart
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