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Widerspruchsbeweise: Wurzel aus 2
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:53 Do 24.03.2011
Autor: Kuise

Aufgabe
Beweisen Sie, dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl ist.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

1) Bei der Wiederspruchsmethode kommt man beim Aufarbeiten der Gleichung [mm] \wurzel{2}= \bruch{p}{q} [/mm] auf den Schluss, dass p²=2q² ist, demnach ist p² eine gerade Zahl, weil das 2-fache einer -beliebigen-ungeraden Zahl wieder eine gerade Zahl ist. Stimmt das?

2) Wie kommt man bei dieser Gleichung in weiterer Folge auf den Schluss, dass p = 2r ist? Woher kommt dieses r? könnte dieses r auch n sein, oder hat dies eine gewisse mathematische Bedeutung?

Für Antworten wäre ich sehr, seh dankbar!

Freundliche Grüße

        
Bezug
Widerspruchsbeweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Do 24.03.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Kuise und [willkommenmr],


> Beweisen Sie, dass die Wurzel aus 2 keine rationale Zahl
> ist.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> 1) Bei der Wiederspruchsmethode kommt man beim Aufarbeiten
> der Gleichung [mm]\wurzel{2}= \bruch{p}{q}[/mm] auf den Schluss,
> dass p²=2q² ist, demnach ist p² eine gerade Zahl, weil
> das 2-fache einer -beliebigen-ungeraden Zahl wieder eine
> gerade Zahl ist. Stimmt das?

Hmm, jein, es ist [mm]2q^2[/mm] gerade, egal ob [mm]q^2[/mm] gerade oder ungerade ist.

>  
> 2) Wie kommt man bei dieser Gleichung in weiterer Folge auf
> den Schluss, dass p = 2r ist? Woher kommt dieses r? könnte
> dieses r auch n sein, oder hat dies eine gewisse
> mathematische Bedeutung?

Das [mm]r[/mm] ist eine nat. Zahl, [mm]n[/mm] kannst du auch schreiben.

Wenn nämlich [mm]p^2[/mm] gerade ist, so muss auch [mm]p[/mm] gerade sein, sich also als [mm]p=2r[/mm] mit einem [mm]r\in\IN[/mm] darstellen lassen.

Begründung dafür:

Wäre [mm]p[/mm] ungerade, also etwa [mm]p=2n+1[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm], so wäre [mm]p^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1[/mm] ungerade im Widerspruch dazu, dass [mm]p^2[/mm] gerade ist.

>  
> Für Antworten wäre ich sehr, seh dankbar!
>
> Freundliche Grüße

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Widerspruchsbeweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Do 24.03.2011
Autor: Kuise

Zuerst danke für deine schnelle Antwort.

Ok, soweit so gut, gehe ich jetzt richtig in der Annahme, dass 2r hier einfach für das 2-fache einer natürlichen Zahl steht, welche nach unserer Erkenntnis also gerade sein muss? Demnach ist 2r = p ... eben, weil beide 2 gerade unbekannte Zahlen sind. richtig?

Kann man also jede beliebige gerade Zahl x mit 2r und jede beliebige ungerade Zahl y mit 2r +- 1 darstellen? Vorausgesetzt [mm] \IN [/mm] {0} da sonst 1 [mm] \not= [/mm] 2r + 1 | r [mm] \in \IN [/mm] in dargestellt werden könnte?



Bezug
                        
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Widerspruchsbeweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Do 24.03.2011
Autor: fred97

Eine gerade natürliche Zahl n lässt sich darstellen in der Form n=2r mit einem r [mm] \in \IN, [/mm] nämlich mit r=n/2  (n ist gerade, also teilbar durch 2)

Eine ungerade natürliche Zahl n lässt sich darstellen in der Form n=2r-1 mit einem r [mm] \in \IN, [/mm] nämlich mit r=(n+1)/2  (n+1 ist gerade, also teilbar durch 2)

FRED

Bezug
                                
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Widerspruchsbeweise: Verstanden
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:25 Do 24.03.2011
Autor: Kuise

Danke Ich habs! Vielen Dank für Eure Hilfe!

Bezug
        
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Widerspruchsbeweise: als Gedicht
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:08 Do 24.03.2011
Autor: wieschoo

http://www.geile-hirnbude.de/wurzel2.html

;-)


Bezug
                
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Widerspruchsbeweise: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:29 Do 24.03.2011
Autor: fred97


> http://www.geile-hirnbude.de/wurzel2.html
>  
> ;-)
>  

Hallo wieschoo,

das gefällt mir, das werde ich in Zukunft in meine Vorlesungen einbauen. Danke für diesen schönen Link.

Gruß FRED

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