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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 So 05.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Für welche Werte von a hat das LGS eine,keine bzw.unendlich viele Lösungen?
a) x+ay-4z=0
x+2y-az=0
x-z=0 |
Hallo^^
Auch bei dieser Aufgabe kommt bei mir am Ende was komisches raus und ich finde meinen Fehler nicht.Villeicht findet ihn jemand von euch.
Also zuerst hab ich die 2.Gleichung von der 1.Gleichung abgezogen un hatte raus: [mm] y=\bruch{z*(4-a)}{(a-2)} [/mm] und [mm] z=\bruch{y*(a-2)}{(4-a)}.
[/mm]
Das heißt,ich kann schon mal sagen,dass das LGS für a=2 und a=4 unlösbar ist.
Aus der 3.Gleichung folgt x=z.
Dann hab ich [mm] y=\bruch{z*(4-a)}{(a-2)} [/mm] und x=z in die 1.Gleichung eingesetzt und hatte raus: [mm] -3z+\bruch{4az-4a^{2}}{a-2}=0.Das [/mm] hab ich beides noch auf enen Bruchstrich gebracht und hatte dann: [mm] z=\bruch{4a^{2}}{a+6}.
[/mm]
Das heißt auch für a=-6 gibt es keine Lösung.Für alle restlichen a müsste aber Lösungen geben.
Ich hab also schonmal zwei Koordinaten, [mm] z=\bruch{4a^{2}}{a+6} [/mm] und [mm] x=\bruch{4a^{2}}{a+6}.Um [/mm] meine y-Koordinate auszurechnen,hab ich dieses z in [mm] y=\bruch{z*(4-a)}{(a-2)} [/mm] eingesetzt und hab raus: [mm] y=\bruch{16a^{2}-4a^{3}}{a^{2}+4a-12}.
[/mm]
Jetzt hab ich mir ein Beispiel ausgedacht, a=1 und hab das in meine Koordinaten eingesetzt.Wenn ich diese ausgerechneten Koordinaten aber in meine Gleichungen einsetze,bekomme ich Widersprüche.
Ich versteh einfach nicht,was ich hier falsch mache???
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 So 05.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
zeige mal bitte diene Rechnungen. Hier würde ich aus Gauss empfehlen, dann siehst du eher, welche Sonderfälle du betrachten musst.
> Für welche Werte von a hat das LGS eine,keine bzw.unendlich
> viele Lösungen?
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> a) x+ay-4z=0
> x+2y-az=0
> x-z=0
> Hallo^^
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> Auch bei dieser Aufgabe kommt bei mir am Ende was komisches
> raus und ich finde meinen Fehler nicht.Villeicht findet ihn
> jemand von euch.
>
> Also zuerst hab ich die 2.Gleichung von der 1.Gleichung
> abgezogen un hatte raus: [mm]y=\bruch{z*(4-a)}{(a-2)}[/mm] und
> [mm]z=\bruch{y*(a-2)}{(4-a)}.[/mm]
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> Das heißt,ich kann schon mal sagen,dass das LGS für a=2 und
> a=4 unlösbar ist.
In einer Lösung für z kein x oder y mehr auftauchen, sondern nur noch - wenn überhaupt- der Parameter a. Als rechne das mal so aus, dass du am Ende konkrete, aber parameterabhängige Werte für x, y und z erhältst.
Ausserdem stimmt das nicht, dass die Nullstellen eines Nenners das LGS unlösbar machen. Für die auszuschliessenden Fälle musst du das LGS komplett durchrechnen, es kann nämlich sein, dass es für a=2 oder a=4 unendlich viele Lösungen gibt.
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> Aus der 3.Gleichung folgt x=z.
> Dann hab ich [mm]y=\bruch{z*(4-a)}{(a-2)}[/mm] und x=z in die
> 1.Gleichung eingesetzt und hatte raus:
> [mm]-3z+\bruch{4az-4a^{2}}{a-2}=0.Das[/mm] hab ich beides noch auf
> enen Bruchstrich gebracht und hatte dann:
> [mm]z=\bruch{4a^{2}}{a+6}.[/mm]
>
> Das heißt auch für a=-6 gibt es keine Lösung.Für alle
> restlichen a müsste aber Lösungen geben.
>
> Ich hab also schonmal zwei Koordinaten,
> [mm]z=\bruch{4a^{2}}{a+6}[/mm] und [mm]x=\bruch{4a^{2}}{a+6}.Um[/mm] meine
> y-Koordinate auszurechnen,hab ich dieses z in
> [mm]y=\bruch{z*(4-a)}{(a-2)}[/mm] eingesetzt und hab raus:
> [mm]y=\bruch{16a^{2}-4a^{3}}{a^{2}+4a-12}.[/mm]
>
> Jetzt hab ich mir ein Beispiel ausgedacht, a=1 und hab das
> in meine Koordinaten eingesetzt.Wenn ich diese
> ausgerechneten Koordinaten aber in meine Gleichungen
> einsetze,bekomme ich Widersprüche.
>
> Ich versteh einfach nicht,was ich hier falsch mache???
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> Vielen Dank
>
> lg
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 So 05.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Für welche Werte von a hat das LGS eine,keine bzw.unendlich
> viele Lösungen?
>
> a) x+ay-4z=0
> x+2y-az=0
> x-z=0
> Hallo^^
>
> Auch bei dieser Aufgabe kommt bei mir am Ende was komisches
> raus und ich finde meinen Fehler nicht.Villeicht findet ihn
> jemand von euch.
>
> Also zuerst hab ich die 2.Gleichung von der 1.Gleichung
> abgezogen un hatte raus: [mm]y=\bruch{z*(4-a)}{(a-2)}[/mm] und
> [mm]z=\bruch{y*(a-2)}{(4-a)}.[/mm]
Hallo, das sieht fehlerträchtig aus, weil du dividiert hast und erst hinterher an die Folgen denkst.
Also: Aus der 3. Gleichung folgt x=z, man kann also z durch x ersetzen und erhält aus den ersten beiden Gleichungen
x+ay-4x=0
x+2y-ax=0
bzw.
ay=3x
2y=(a-1)x
Die letzte Gleichung lässt sich (ohne die Gefahr einer Division durch Null) umstellen zu
y=0,5(a-1)x.
Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man
a*0,5(a-1)x=3x und damit [mm] (0,5a^2-0,5a-3)x=0.
[/mm]
Der Term [mm] (0,5a^2-0,5a-3) [/mm] ist Null für a=-2 und a=3. (x kann dabei machen was es will).
Gruß Abakus
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> Das heißt,ich kann schon mal sagen,dass das LGS für a=2 und
> a=4 unlösbar ist.
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> Aus der 3.Gleichung folgt x=z.
> Dann hab ich [mm]y=\bruch{z*(4-a)}{(a-2)}[/mm] und x=z in die
> 1.Gleichung eingesetzt und hatte raus:
> [mm]-3z+\bruch{4az-4a^{2}}{a-2}=0.Das[/mm] hab ich beides noch auf
> enen Bruchstrich gebracht und hatte dann:
> [mm]z=\bruch{4a^{2}}{a+6}.[/mm]
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> Das heißt auch für a=-6 gibt es keine Lösung.Für alle
> restlichen a müsste aber Lösungen geben.
>
> Ich hab also schonmal zwei Koordinaten,
> [mm]z=\bruch{4a^{2}}{a+6}[/mm] und [mm]x=\bruch{4a^{2}}{a+6}.Um[/mm] meine
> y-Koordinate auszurechnen,hab ich dieses z in
> [mm]y=\bruch{z*(4-a)}{(a-2)}[/mm] eingesetzt und hab raus:
> [mm]y=\bruch{16a^{2}-4a^{3}}{a^{2}+4a-12}.[/mm]
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> Jetzt hab ich mir ein Beispiel ausgedacht, a=1 und hab das
> in meine Koordinaten eingesetzt.Wenn ich diese
> ausgerechneten Koordinaten aber in meine Gleichungen
> einsetze,bekomme ich Widersprüche.
>
> Ich versteh einfach nicht,was ich hier falsch mache???
> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> Vielen Dank
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> lg
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