Wertebereich trigon. Funktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:56 Mo 04.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Wertebereich folgender Funktion:
f(x)=3*sin(x)+4*cos(2x) |
f(x)=3*sin(x)+4*cos(2x)
Habe ich erstmal umgeschrieben zu:
[mm] f(x)=6*sin(x)*cos(x)+4*cos^2(x)-4*sin^2(x)
[/mm]
und ein bisschen nachgedacht...
sin(x) erreicht maximale Werte wo cos(x) Nullstellen hat.
cos(x) und sin(x) können maximale y-Werte von y=1 erreichen.
Ich dachte erst bei [mm] x=\bruch{\pi}{4} [/mm] also dem ersten Schnittpunkt von sin(x) und cos(x) wird ein maximalwert erreicht aber [mm] 4*cos^2(x)-4*sin^2(x) [/mm] wird dann ja 0 und es bleibt nur noch der linke Term über.
Bei x=0 bzw [mm] x=\bruch{\pi}{2} [/mm] fällt zwar 6*sin(x)*cos(x) und jeweils [mm] -4*sin^2(x) [/mm] oder [mm] 4*cos^2(x) [/mm] weg aber trotzdem müssten dort die Funktion doch ihre Maxima/Minima besitzen...
f(0)=4
[mm] f(\bruch{\pi}{2})=-4
[/mm]
Ist die Überlegung richtig?
Dann wäre der [mm] W_f=\{y|-4\ley\le4\}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mo 04.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ncihtt ganz. Berechne mal die Extrempunkte. Dann wirst du sehen, dass alle y-Werte auf einer (Bzw zwei) Parallelen zur x-Achse liegen, die aber nicht bei [mm] y=\pm4 [/mm] liegen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also:
f'(x)=0
[mm] \gdw 3*\cos(x)+8*\sin(2x)=0
[/mm]
Jetzt nutze mal die Additionstheoreme:
[mm] \gdw 3*\cos(x)+8*\sin(2x)=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*\cos(x)-16\sin(x)\cos(x)=0
[/mm]
[mm] \gdw \cos(x)*(3-16\sin(x))=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \cos(x)=0 \vee 3-16\sin(x)=0
[/mm]
Daraus berechne mal die Extrempunkte, und damit dann den Maximalen Def-bereich.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Mo 04.08.2008 | | Autor: | tedd |
Ahh Mist!
Mir ist ein Schreibfehler dazwischengekommen.
Tut mir total leid, sorry...
Die Funktion lautet egitl:
[mm] f(x)=3*sin({\color{red}2}x)+4*cos(2x)
[/mm]
dann ist
f'(x)=6*cos(2x)-8*sin(2x)
[mm] 0=6*sin^2(x)-6*cos^2(x)-16*sin(x)*cos(x)
[/mm]
Aber hier komme ich dann auch nicht mehr weiter :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mo 04.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast:
[mm] 0=6*\cos(2x)-8*\sin(2x) [/mm]
[mm] \gdw 0=6*\cos(2x)-8*\bruch{\sin(2x)*\cos(2x)}{\cos(2x)}
[/mm]
[mm] \gdw 0=\cos(2x)*\left[6*\bruch{\cos(2x)}{\cos(2x)}-8*\bruch{\sin(2x)}{\cos(2x)}\right]
[/mm]
[mm] \gdw 0=\cos(2x)*\left[6-8*\tan(2x)\right]
[/mm]
[mm] \Rightarrow \cos(2x)=0 \vee 6-8*\tan(2x)=0
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Mo 04.08.2008 | | Autor: | tedd |
Hey danke Marius!
0=cos(2x)
[mm] x=\bruch{\pi}{4}
[/mm]
0=6-8*tan(2x)
[mm] x=\bruch{arctan(\bruch{6}{8})}{2}
[/mm]
[mm] W_f=\{y|-5\le y \le5\}
[/mm]
Gruß,
tedd
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
[mm] \vee 6-8*\tan(2x)=0[/mm]![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
