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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass [mm]f:]0,\infty[\to\IR,f(x):=\bruch{x+1}{x^2+1}[/mm] den Wertebereich [mm]W_f=]0,\bruch{\wurzel{2}+1}{2}] [/mm]besitzt. |
Ok ich habe bisher folgendes:
f ist stetig und streng monoton fallend.
Jetzt die untere Grenze zu berechnen berechne ich den Limes für x gegen unendlich:
[mm]\lim_{x \to \infty}\bruch{x+1}{x^2+1}=\lim_{x \to \infty}\bruch{x^2(\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2})}{x^2(1+\bruch{1}{x^2})}=\bruch{0}{1}=0[/mm]
Ok das kommt ja hin, aber wie komme ich nun an den in der Aufgabe geforderten Wert für die obere Grenze? Einfach gegen Null laufen lassn funkrioniert ja nicht.
Jemand einen Ansatz oder Idee?
Danke
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> Beweisen Sie, dass
> [mm]f:]0,\infty[\to\IR,f(x):=\bruch{x+1}{x^2+1}[/mm] den
> Wertebereich [mm]W_f=]0,\bruch{\wurzel{2}+1}{2}] [/mm]besitzt.
> Ok
> ich habe bisher folgendes:
> f ist stetig und streng monoton fallend.
Stetig stimmt. Das andere nicht. Es gibt ein Minimum und ein Maximum! Wenn Du die beide bestimmst und zeigst, dass sie global sind, dann hast Du die Aufgabe gelöst.
Übrigens ist sowohl der Grenzwert gegen [mm] +\infty [/mm] als auch der gegen [mm] -\infty [/mm] tatsächlich 0. Du hast aber nur einen von beiden bestimmt.
> Jetzt die untere Grenze zu berechnen berechne ich den
> Limes für x gegen unendlich:
> [mm]\lim_{x \to \infty}\bruch{x+1}{x^2+1}=\lim_{x \to \infty}\bruch{x^2(\bruch{1}{x}+\bruch{1}{x^2})}{x^2(1+\bruch{1}{x^2})}=\bruch{0}{1}=0[/mm]
>
> Ok das kommt ja hin, aber wie komme ich nun an den in der
> Aufgabe geforderten Wert für die obere Grenze? Einfach
> gegen Null laufen lassn funkrioniert ja nicht.
> Jemand einen Ansatz oder Idee?
> Danke
lg,
reverend
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