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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f und g mit [mm] f(x)=x*e^x [/mm] bzw. g(x)=x*e^[-x]
a) Ermittle die Gleichungen der Wendetangenten an die Graphen f und g.
b) Was ergibt sich, wenn man die Gleichungen der Wendetangenten der Graphen [mm] f_{k} [/mm] und [mm] g_{k} [/mm] mit $ [mm] f_{k}(x)=x\cdot{}e^{kx} [/mm] $ und [mm] g_{k}(x)=x*e^{-kx}, k\not=0, [/mm] berechnet und mitteinander vergleicht?
c) Zeige, dass die Wendepunkte von [mm] f_{k} [/mm] bzw [mm] g_{k} [/mm] auf einer Grade liegen. Was lässt sich über die Lage der Extrempunkte sagen? |
Hallo,
ich habe ein Problem mit der hier mir gestellten Aufgabe. Vor allem und weswegen ich gar nicht weiterüberlegen kann: Was sind Wendetangenten? Wir haben das noch gar nicht besprochen im Unterricht.
Und wie gehe ich dann weiter vor?
Vielen Dank schon jetzt
LG TryingHard
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Hallo TryingHard,
> Gegeben sind die Funktionen f und g mit [mm]f(x)=x*e^x[/mm] bzw.
> g(x)=x*e^[-x]
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> a) Ermittle die Gleichungen der Wendetangenten an die
> Graphen f und g.
>
> b) Was ergibt sich, wenn man die Gleichungen der
> Wendetangenten der Graphen [mm]f_{k}[/mm] und [mm]g_{k}[/mm] mit
> [mm]f_{k}(x)=x\cdot{}e^{kx}[/mm] und [mm]g_{k}(x)=x*e^{-kx}, k\not=0,[/mm]
> berechnet und mitteinander vergleicht?
>
> c) Zeige, dass die Wendepunkte von [mm]f_{k}[/mm] bzw [mm]g_{k}[/mm] auf
> einer Grade liegen. Was lässt sich über die Lage der
> Extrempunkte sagen?
> Hallo,
>
> ich habe ein Problem mit der hier mir gestellten Aufgabe.
> Vor allem und weswegen ich gar nicht weiterüberlegen kann:
> Was sind Wendetangenten? Wir haben das noch gar nicht
> besprochen im Unterricht.
> Und wie gehe ich dann weiter vor?
>
Du ermittelst die Wendepunkte und die Tangenten durch die Wendepunkte = Wendetangenten.
Kommst du nun weiter?
Gruß informix
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HI,
ja, das Hilft mir sehr weiter. Nun weiß ich WAS ich machen muss. Aber bei der umsetzung nabe ich doch noch einige Probleme.
Also:
Die Wendepunkte habe ich ermittelt. Der Wendepunkt der Funktion f liegt bei (-2/-0,2707) und der Wendepunkt der Funktion g liegt bei (2/0,2707).
Jetzt müsste ich jeweils eine Tangente bestimmen. Die durch jeweils einen Wendepunkt geht.
Aber das ist mein Problem.
Auch wenn das eigentlich wissen aus der Mittelstufe ist, weiß ich es nicht mehr. Es wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Vielen Dank schon jetzt.
LG TryingHard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 So 12.11.2006 | | Autor: | Maik314 |
Hallo TryingHard,
Die Gleichungen der Wendetangenten sind ja Geraden, also Funktionen 1. Grades der Form f(x) = mx+b.
Der Anstieg der Wendetangenten m ist die 1. Ableitung der Funktion f an der Wendestelle, also [mm] f'(x_{w}).
[/mm]
Damit hast du die Wendetangentengleichung
[mm] t_{x_{w}}(x_{w})=f'(x_{w})*x+b [/mm] und musst nur noch b berechnen.
Da du einen Punkt gegeben hast, den die Gerade durchläuft, nämlich den Wendepunkt [mm] P_{w}(x_{w};f(x_{w})), [/mm] kannst du diesen in die Gleichung einsetzen und nach b auflösen:
[mm] f(x_{w})=f'(x_{w})*x_{w}+b, [/mm] damit ist
[mm] b=f(x_{w})-f'(x_{w})*x_{w}.
[/mm]
Eingesetzt in [mm] t_{x_{w}}(x_{w})=f'(x_{w})*x+b
[/mm]
ergibt sich die Wendetangentengleichung
[mm] t_{x_{w}}(x_{w})=f'(x_{w})*x+f(x_{w})-f'(x_{w})*x_{w} [/mm] und vereinfacht
[mm] t_{x_{w}}(x_{w})=f'(x_{w})*(x-x_{w})+f(x_{w}).
[/mm]
Ich hoffe es ist nicht zu unübersichtlich und ich hoffe ich konnte behilflich sein.
Gruß
Maik314
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Vielen Dank,
ja das war sehr Hilfreich. Auf dem ersten Blick sah es unübersichtlich aus, aber dann ging es doch. Und die Wendetangenten habe ich jetzt auch.
Jetzt habe ich aber auch ein anderes Problem bei Aufgabe b)
Die lautete: Was ergibt sich, wenn man die Gleichungen der Wendetangenten der Graphen von [mm] f_{k} [/mm] und [mm] g_{k} [/mm] mit $ [mm] f_{k}(x)=x\cdot{}e^{k\cdot{}x} [/mm] $ und [mm] g_{k}(x)=x*e^{-k*x}, k\not=0, [/mm] berechnet und miteinander vergleicht?
Ja da muss ich eben von diesen beiden neuen Graphen die Wendetangenten bestimmen. Das weiß ich ja jetzt wie es geht. Aber ich komme nicht an die Wendepunkte heran.
die Ableitungen lauten so:
$ [mm] f'(x)=e^{k\cdot{}x}\cdot{}(k\cdot{}x+1) [/mm] $
$ [mm] f''(x)=k\cdot{}e^{k\cdot{}x}\cdot{}(k\cdot{}x+2) [/mm] $
$ [mm] g'(x)=e^{-k\cdot{}x}-k\cdot{}x\cdot{}e^{-k\cdot{}x} [/mm] $
$ [mm] g''(x)=k*e^{-k*x}*(k*x-1)-k*e^{-k*x} [/mm] $
Aber wie berechne ich jetzt aus der zweiten Ableitungen die Nullstellen? Kann mir da jemand helfen oder es mir vorrechnen.
Vielen Dank schon jetzt.
LG TryingHard
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 12.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Vielen Dank,
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> ja das war sehr Hilfreich. Auf dem ersten Blick sah es
> unübersichtlich aus, aber dann ging es doch. Und die
> Wendetangenten habe ich jetzt auch.
>
> Jetzt habe ich aber auch ein anderes Problem bei Aufgabe
> b)
>
> Die lautete: Was ergibt sich, wenn man die Gleichungen der
> Wendetangenten der Graphen von [mm]f_{k}[/mm] und [mm]g_{k}[/mm] mit
> [mm]f_{k}(x)=x\cdot{}e^{k\cdot{}x}[/mm] und [mm]g_{k}(x)=x*e^{-k*x}, k\not=0,[/mm]
> berechnet und miteinander vergleicht?
>
> Ja da muss ich eben von diesen beiden neuen Graphen die
> Wendetangenten bestimmen. Das weiß ich ja jetzt wie es
> geht. Aber ich komme nicht an die Wendepunkte heran.
>
> die Ableitungen lauten so:
> [mm]f'(x)=e^{k\cdot{}x}\cdot{}(k\cdot{}x+1)[/mm]
> [mm]f''(x)=k\cdot{}e^{k\cdot{}x}\cdot{}(k\cdot{}x+2)[/mm]
>
> [mm]g'(x)=e^{-k\cdot{}x}-k\cdot{}x\cdot{}e^{-k\cdot{}x}[/mm]
> [mm]g''(x)=k*e^{-k*x}*(k*x-1)-k*e^{-k*x}[/mm]
>
>
> Aber wie berechne ich jetzt aus der zweiten Ableitungen die
> Nullstellen? Kann mir da jemand helfen oder es mir
> vorrechnen.
>
>
> Vielen Dank schon jetzt.
>
>
> LG TryingHard
Hallo
Du kannst bei den Ableitungen jeweils noch zusamenfassen:
[mm] f(x)=x*e^{kx}
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{kx}+x(k*e^{kx})=e^{kx}(1+kx)
[/mm]
[mm] f''(x)=ke^{kx}+(1+kx)ke^{kx}=e^{kx}(k+k+k²x)=e^{kx}(2k+k²x)
[/mm]
und [mm] g(x)=x*e^{-kx}
[/mm]
[mm] g'(x)=e^{-kx}-x(k*e^{-kx})=e^{-kx}(1-kx)
[/mm]
[mm] g''(x)=-ke^{-kx}-(1-kx)ke^{-kx}=e^{-kx}(-2k+k²x)
[/mm]
Die Nullstellen zu berechnen, funktioniert wie folgt:
Bsp.: f''(x)
[mm] e^{kx}(2k+k²x)=0 [/mm]
Da [mm] e^{kx} [/mm] niemals Null wird, kannst du der teil weglassen.
Es reicht, wenn 2k+k²x=0 wird, also [mm] x=\pm\wurzel{\bruch{-2}{k}}
[/mm]
Achtung: Das ist nur für k<0 definiert, also gibt es nur für k<0 Wendestellen.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 So 12.11.2006 | | Autor: | Maik314 |
Hallo,
Die 2. Ableitung mit f''(x) = [mm] e^{kx}(k^{2}x+2k) [/mm] ist nur null, wenn
[mm] k^{2}x+2k=0 [/mm] ist. Dann ist [mm] x_{0} [/mm] aber [mm] \bruch{-2}{k}.
[/mm]
Gruß
Maik314
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