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Forum "Schul-Analysis" - Wendetangente und Normalen
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Wendetangente und Normalen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Mo 16.01.2006
Autor: teufel_z

Hallo
sitze nun schon stundenlang an meiner Matheaufgabe und ich steige einfach nicht durch.
1. vollständige Kurvendiskussion -> hab ich gemacht
2. bestimme Monotonieintervalle -> hab ich auch
3. berechnen Sie genau eine Gleichung einer Wendetangente und die Gleichung ihrer zugehörigen Normalen.

Bei der 3. komm ich einfach nicht weiter :(

y=f(x) = [mm] \bruch{1}{2}x^4 [/mm] - [mm] 3x^2 [/mm] +1

habe dann die zweite Ableitung gebildet:
f''(x)= 6x -6

das dann zu 0 gesetzt und 1 rausbekommen.

und dann muss ich ja irgendwie die dritte Ableitung bilden
f'''(x)=6 =0

also wären dann die Wendepunkte bei (1/0) ?????

und dann hab ich die Formel f(x)= mx+n gefunden, aber ich komme einfach bei der Aufgabe nicht weiter.
Ich weiß nicht was ich einsetzten soll.

Wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte, bin schon total verzweifelt



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Wendetangente und Normalen: Korrekturen + Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:42 Mo 16.01.2006
Autor: Roadrunner

Hallo teufel,

[willkommenmr] !!


> y=f(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^4[/mm] - [mm]3x^2[/mm] +1
>  
> habe dann die zweite Ableitung gebildet:
> f''(x)= 6x -6

[notok] Diese Ableitung stimmt nicht! Das muss ein quadratischer Term sein!

  
> das dann zu 0 gesetzt und 1 rausbekommen.

Aber das Ergebnis stimmt (es gibt allerdings noch eine Wendestelle!).



> und dann muss ich ja irgendwie die dritte Ableitung bilden
> f'''(x)=6 =0

[notok] Folgefehler! Und $6 \ = \ 0$ ist ja auch leicht geflunkert, oder? ;-)

Mit der 3. Ableitung überprüfst Du ja lediglich, ob es sich wirklich um eine Wendestelle handelt (hinreichendes Kriterium).

Für den y-Wert musst du den x-Wert in die Ausgangsfunktion $f(x)_$ einsetzen. Damit haben wir einen Punkt der gesuchten Geraden:

$W \ [mm] \left( \ x_W \ ; \ y_W \ \right)$ [/mm]


Mit der 1. Ableitung an der Wendestelle kannst Du die Steigung der gesuchten Geraden ermitteln, das es sich um eine Tangente handeln soll:

[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_W) [/mm] \ = \ ...$


Damit können wir mit der Punkt-Steigungs-Form die Tangente ermitteln:

[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y-y_W}{x-x_W}$ [/mm]


Die Normale erhalten wir fast genauso. Der Punkt $W_$ liegt auch auf dieser Geraden. Allerdings hat die Normale eine andere Steigung.

Da sie senkrecht auf die Tangente steht, gilt für die Steigung [mm] $m_n$ [/mm] der Normale:

[mm] $m_n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{m_t}$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

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