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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Tommylee |
Hallo
Zitat aus Dem Buch :
.... . Daher ist [mm] x_{0} [/mm] eine Wendestelle einer zweimal differenzierbaren Funktion f , wenn die zweite Ableitungsfunktion beim Durchgabg durch
[mm] x_{0} [/mm] einen Vrzeichenwechsel erfährt.
Es gilt der Satz :
Wenn es bei einer zweimal differenzierbaren Funktion f eine Umgebung U( [mm] x_{0} [/mm] gibt , so daß für x [mm] \in [/mm] U [mm] (x_{0}) [/mm] gilt :
x < [mm] x_{0} \Rightarrow [/mm] f´´(x) > 0
und
x > [mm] x_{0} \Rightarrow [/mm] f´´(x) < 0
oder
x < [mm] x_{0} \Rightarrow [/mm] f´´(x) < 0
und
x > [mm] x_{0} \Rightarrow [/mm] f´´(x) > 0
dann ist [mm] x_{0} [/mm] eine Wendestelle der Funktion f .
Desweiteren steht da:
Beachte , daß die Bedingungen für eine Wendestelle nur hinreichend aber nicht notwendig sind.
Ich verstehe disen Statz jetzt so , daß eine Funktion f an einer Stelle
[mm] x_{0} [/mm] eine Wendestelle haben kann , auch wenn die zweite Ableitungsfunktion an dieser Stelle keinen Vorzeichenwechsel erfährt.
Das verstehe ich nicht :
Eine Funktion f hat an einer Stelle [mm] x_{0} \in [/mm] D(f) genau dann eine Wendestelle , wenn f´
für x < [mm] x_{0} [/mm] streng monoton steigt ( bzw. fällt) und
für x > [mm] x_{0} [/mm] streng monoton fällt ( bzw. steigt )
Also muß doch die Ableitungsfunktion der Ableitungsfunktion an der Stelle
[mm] x_{0} [/mm] einen Vorzeichenwechsel erfahren und ist somit notwendig für eine Wendestelle.
Ich habe sicherlich einen Denkfehler , nur welchen ?
Vielen Dank für Antwort
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Tommylee |
Ist meine Frage unverständlich ? Ich hänge echt an dieser Stelle
Villeicht habe das Prinzip " hinreichend , notwendig " nicht richtig verstanden. Ich bitte sehr um einen Hinweis an dieser Stelle.
Nach meinem Verständnis bis jetzt hat wenn f(x) an einer Stelle einen Wendepunkt hat , die zweite Ableitungsfunktion an dieser Stelle immer
einen Vorzeichenwechsel.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Tommylee,
> Zitat aus Dem Buch :
>
> .... . Daher ist [mm]x_{0}[/mm] eine Wendestelle einer zweimal
> differenzierbaren Funktion f , wenn die zweite
> Ableitungsfunktion beim Durchgabg durch
> [mm]x_{0}[/mm] einen Vrzeichenwechsel erfährt.
>
> Es gilt der Satz :
>
> Wenn es bei einer zweimal differenzierbaren Funktion f eine
> Umgebung U( [mm]x_{0}[/mm] gibt , so daß für x [mm]\in[/mm] U [mm](x_{0})[/mm]
> gilt :
>
>
>
> x < [mm]x_{0} \Rightarrow[/mm] f´´(x) > 0
>
>
> und
>
> x > [mm]x_{0} \Rightarrow[/mm] f´´(x) < 0
>
>
> oder
>
> x < [mm]x_{0} \Rightarrow[/mm] f´´(x) < 0
>
>
> und
>
> x > [mm]x_{0} \Rightarrow[/mm] f´´(x) > 0
>
>
> dann ist [mm]x_{0}[/mm] eine Wendestelle der Funktion f .
>
>
>
> Desweiteren steht da:
>
> Beachte , daß die Bedingungen für eine Wendestelle nur
> hinreichend aber nicht notwendig sind.
Notwendig wäre das Kriterium, wenn gilt:
[mm] $x_0$ [/mm] eine Wendestelle der Funktion f [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es gibt bei einer zweimal differenzierbaren Funktion f eine Umgebung U( [mm]x_{0}[/mm] , so daß für x [mm]\in[/mm] U [mm](x_{0})[/mm] gilt ... und... oder... und....
Das gilt natürlich nicht, wenn f nicht zweimal diffbar ist, jedenfalls verstehe ich die Bemerkung so.
> Ich verstehe disen Statz jetzt so , daß eine Funktion f an
> einer Stelle
> [mm]x_{0}[/mm] eine Wendestelle haben kann , auch wenn die zweite
> Ableitungsfunktion an dieser Stelle keinen
> Vorzeichenwechsel erfährt.
>
> Das verstehe ich nicht :
>
> Eine Funktion f hat an einer Stelle [mm]x_{0} \in[/mm] D(f) genau
> dann eine Wendestelle , wenn f´
>
> für x < [mm]x_{0}[/mm] streng monoton steigt ( bzw. fällt) und
>
> für x > [mm]x_{0}[/mm] streng monoton fällt ( bzw. steigt )
>
> Also muß doch die Ableitungsfunktion der Ableitungsfunktion
> an der Stelle
> [mm]x_{0}[/mm] einen Vorzeichenwechsel erfahren und ist somit
> notwendig für eine Wendestelle.
>
> Ich habe sicherlich einen Denkfehler , nur welchen ?
Keinen grossen, würde ich sagen. Für zweimal differenzierbare Funktionen ist das Kriterium tatsächlich auch ein notwendiges.
Interessant wäre jetzt ein Beispiel einer nicht zweimal diffbaren Funktionen, die trotzdem eine Wendestelle hat. Kann man Wendestellen eigentlich ohne Differenzialrechnung definieren?
Deine zweite Definition einer Wendestellen setzt nicht die zweimalige Diffbarkeit voraus, sondern nur die einmalige Diffbarkeit, deswegen müßte es damit gelingen, ein Beispiel zu finden.
Ich suche mal eine Funktion f, so dass $f'(x)=|x|$. Dann ist f offenbar nur einmal diffbar und nicht zweimal.
f lautet dann: [mm] $f(x)=\begin{cases} -\bruch{1}{2}x^2, & \mbox{für } x<0 \\ \bruch{1}{2}x^2, & \mbox{für } x\ge 0 \end{cases}$
[/mm]
f ist nur einmal diffbar und hat an der Stelle 0 einen Wendepunkt.
Das ist also genau das Beispiel, warum dein erstes Kriterium nicht notwendig ist.
Viele Grüße,
Marc
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