Wendepunkte und Extrempunkte < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:45 So 12.02.2012 | | Autor: | Matritze |
| Aufgabe | Die 2.Ableitung einer Funktion f ist bekannt.
Was lässt sich über die Wendepunkte und Extrempunkte des Graphen von f aussagen?
f''(x)= -x+1 |
Den Wendepunkt kann man ja berechnen, indem man die gegebene 2.Ableitung mit null gleichsetzt. Als Wendepunkt bekommt man dann x=1 heraus.
Wie kann man aber nun die Extrempunkte des Graphen nur anhand der 2. Ableitung bestimmen? Oder geht das überhaupt nicht ohne vorher aufzuleiten bzw. zu integrieren?
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Hallo,
> Den Wendepunkt kann man ja berechnen, indem man die
> gegebene 2.Ableitung mit null gleichsetzt. Als Wendepunkt
> bekommt man dann x=1 heraus.
das reicht nicht ganz: du musst dazusagen, dass die 2. Ableitung an der Stelle x=1 eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel besitzt.
> Wie kann man aber nun die Extrempunkte des Graphen nur
> anhand der 2. Ableitung bestimmen? Oder geht das überhaupt
> nicht ohne vorher aufzuleiten bzw. zu integrieren?
Nun, bedenke: die 2. Ableitung ist die 1. Ableitung der 1. Ableitung. 
Was gilt denn so für Extrempunkte und die 1. Ableitung?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 So 12.02.2012 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
danke für die Antwort.
> das reicht nicht ganz: du musst dazusagen, dass die 2.
> Ableitung an der Stelle x=1 eine Nullstelle mit
> Vorzeichenwechsel besitzt.
Alles klar!
> Nun, bedenke: die 2. Ableitung ist die 1. Ableitung der 1.
> Ableitung.
>
> Was gilt denn so für Extrempunkte und die 1. Ableitung?
Die 1.Ableitung muss null sein.
f'(x)= 0
Und die 2.Ableitung muss "nur" ungleich null sein.
Gruß,
Matritze
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Hallo,
> Die 1.Ableitung muss null sein.
> f'(x)= 0
>
> Und die 2.Ableitung muss "nur" ungleich null sein.
Und da hier die 1. Ableitung in Wahrheit die 2. ist, folgt sofort was?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 12.02.2012 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
> Und da hier die 1. Ableitung in Wahrheit die 2. ist, folgt
> sofort was?
Sorry, aber ich weiß noch nicht genau, was du mit "in Wahrheit" meinst.
Also es die hinreichende Bedingung (2.Ableitung gleich null) kann in diesem Fall ja erfüllt und nicht erfüllt sein, da man nicht weiß, was x (=Nullstelle aus der 1.Ableitung) ist, ohne vorher integriert zu haben.
Gruß,
Matritze
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Hi,
lies dir mal die Aufgabe nochmal ganz genau durch. Wer oder was soll denn einen Extremwert annehmen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 So 12.02.2012 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
> lies dir mal die Aufgabe nochmal ganz genau durch. Wer oder
> was soll denn einen Extremwert annehmen?
Also ich soll etwas über den Extrempunkt vom Ursprungsgraphen "f" aussagen, sprich die Extrempunkte bestimmen (,nehme ich mal an).
Gruß,
Matritze
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Hallo,
> Also ich soll etwas über den Extrempunkt vom
> Ursprungsgraphen "f" aussagen, sprich die Extrempunkte
> bestimmen (,nehme ich mal an).
ja, sorry. Ich habe mich verlesen.
Prinzipiell kann man aus einer Ableitung nichts über Funktionswerte der zugehörigen Grundfunktion aussagen, un d das ist auch hier nicht anders: eine Aussage über Extremwerte ist nur mit Kenntnis der 2. Ableitung nicht möglich.
Entschuldige bitte nochmals meine Nachlässigkeit.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 12.02.2012 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
mach dir keinen Kopf draus! Das passiert mal. Ist nicht weiter schlimm! :)
> Prinzipiell kann man aus einer Ableitung nichts über
> Funktionswerte der zugehörigen Grundfunktion aussagen, un
> d das ist auch hier nicht anders: eine Aussage über
> Extremwerte ist nur mit Kenntnis der 2. Ableitung nicht
> möglich.
Okay. Dann kann man wirklich nicht weiter fortfahren. Muss es bei der Existenz von Wendestellen auch Hoch- und Tiefpunkte geben? Ja, oder?
Kann es aber theoretisch sein, dass der Wendepunkt auch gleichzeitig ein Sattelpunkt ist? Man weiß ja nicht, ob die 1. Ableitung gleich null ist oder nicht. Dafür würde die Möglichkeit bestehen, dass ein Sattelpunkt vorhanden ist.
Gruß,
Matritze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 So 12.02.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> mach dir keinen Kopf draus! Das passiert mal. Ist nicht
> weiter schlimm! :)
>
>
> > Prinzipiell kann man aus einer Ableitung nichts über
> > Funktionswerte der zugehörigen Grundfunktion aussagen, un
> > d das ist auch hier nicht anders: eine Aussage über
> > Extremwerte ist nur mit Kenntnis der 2. Ableitung nicht
> > möglich.
>
> Okay. Dann kann man wirklich nicht weiter fortfahren. Muss
> es bei der Existenz von Wendestellen auch Hoch- und
> Tiefpunkte geben? Ja, oder?
>
> Kann es aber theoretisch sein, dass der Wendepunkt auch
> gleichzeitig ein Sattelpunkt ist? Man weiß ja nicht, ob
> die 1. Ableitung gleich null ist oder nicht. Dafür würde
> die Möglichkeit bestehen, dass ein Sattelpunkt vorhanden
> ist.
>
> Gruß,
> Matritze
Hallo,
wenn die zweite Ableitung -x+1 ist, dann ist die erste Ableitung [mm]-\bruch{x^2}{2}+x+c[/mm]. Ob diese erste Ableitung an zwei Stellen Null ist oder nur an einer Stelle (beim Vorliegen eines Sattelpunktes) oder gar nicht, hängt von c ab. Wie dieses c beschaffen ist, kann man aus der zweiten Ableitung nicht erkennen.
Gruß Abakus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 So 12.02.2012 | | Autor: | Matritze |
Hallo,
stimmt, das macht Sinn!
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Gruß,
Matritze
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