Wendepunkt bei gebrochenration < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mi 23.03.2005 | | Autor: | jonkal |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe folgende Funktion vorliegen, weiß nicht genau ob die Ableitungen richtig sind, weil mein PC beim Wendepunkt was anderes ausspuckt. Gibt es bei dieser Funktion überhaupt einen Wendepunkt, wenn ja welchen?
f(x) = [mm] (x^3-5x^2+3x+9)/(2x^2)
[/mm]
f´(x) = [mm] (x^3-3x-18)/(2x^3)
[/mm]
f´´(x) = [mm] (6x+54)/(2x^4)
[/mm]
f´´´(x) = [mm] (-9x-108)/x^5
[/mm]
Der Wendepunkt läge doch dann bei x = -9, aber wie geht das an?
Danke für´s Nachrechnen, liebe Grüße, Jonkal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Mi 23.03.2005 | | Autor: | jonkal |
Danke für´s nachrechnen, beruhigt mich ja.
Aber müßten dann nicht zwei extrempunkte vorliegen, einer auch noch auf dem linken Ast, den asymptotisch annähern, heißt doch daß der Abstand zur Asymptote immer geringer wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo jonkal!
> Aber müßten dann nicht zwei extrempunkte vorliegen, einer
> auch noch auf dem linken Ast, den asymptotisch annähern,
> heißt doch daß der Abstand zur Asymptote immer geringer
> wird?
Wie Du schon schreibst: der Abstand !!
Also die Abstandsfunktion $d(x)$ mit $d(x) \ = \ g(x) - f(x)$ hat hier ein Extremwert, aber nicht unsere Ausgangsfunktion $f(x)$.
(Was sich durch eine Nullstellenberechnung von [mm] $f'(x_E)$ [/mm] ja leicht belegen läßt ...).
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 23.03.2005 | | Autor: | jonkal |
Sorry, aber das versteh ich nicht, kannst du es anders beantworten, oder ausführlicher?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Do 24.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen jonkal!
Wenn ich für unsere Funktion eine Extremwertberechnung durchführen möchte, muß ich ja die Nullstellen der 1. Ableitung ermitteln (notwendiges Kriterium).
Das heißt, hier muß ich rechnen: [mm] $f'(x_E) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^3-3x-18}{2x^3} [/mm] \ = \ 0$
Dieser Bruch hat aber nur an der Stelle [mm] $x_E [/mm] \ = \ 3$ eine (reelle) Nullstelle. Es gibt also maximal einen Extremwert (ein rel. Minimum) an dieser Stelle.
Mit der Bemerkung, daß "asymptotisch annähern" bedeutet, daß der Abstand immer geringer wird, hast Du völlig recht!
Aber da sich bei [mm] $x_S [/mm] \ = -3$ die Asymptotengerade und unsere Funktion schneiden und anschließend wieder asymptotisch annähern, bedeutet noch nicht, daß unsere Funktion $f(x)$ einen Extremwert im negativen Bereich hat.
Ein Extremwert in diesem Bereich ergibt sich lediglich für die Abstandsfunktion $d(x)$.
Diese Abstandsfunktion gibt den Abstand zwischen unserer Funktion $f(x)$ und der Asymptote $g(x)$ an (dabei handelt es sich um den vertikalen Abstand zwischen diesen beiden Kurven).
Formel:
$d(x) \ = \ g(x) - f(x) \ = \ [mm] \left( \bruch{1}{2}x - \bruch{5}{2}\right) [/mm] - [mm] \left(\bruch{x^3-5x^2+3x+9}{2x^2}\right) [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{3x+9}{2x^2}$
[/mm]
Wenn Du hier nun eine Extremwertberechnung durchführen, ergibt sich ein maximaler Abstand zwischen diesen beiden Kurven bei [mm] $x_E [/mm] \ = \ -6$.
Nun etwas klarer?
Gruß
Loddar
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!!
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Diese Ableitungen habe ich auch.
