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| Aufgabe | | Wendepunkte und Punkt oder Achsensymmetrie. |
Wie erkenne ich einen Wendepunkt bei einer gemalten Funktion gibt es da ein paar Tricks tue mir da sehr schwer bei zu bestimmen wieviel Wendepunkte ein Graph hat.
Wie kann ich erkennen ob ein Graph punktsymmetrisch oder Achsensymmetrisch ist.
Und was hat das mit dem Grenzwert limes auf sich bzw.
[mm] x\mapsto\infty [/mm]
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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Hallo Peter!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zum Wendepunkt:
Der Wendepunkt liegt genau dort, wo ein Krümmungswechsel stattfindet.
![[]](/images/popup.gif) Wendepunkt graphisch
Quelle: Wikipedia
Das Bild hilft vielleicht, um das mit dem Krümmungswechsel besser nachvollziehen zu können.
Wenn du dir den Graphen nun genauer ansiehst, wirst du feststellen, dass der Wendepunkt exakt die Stelle ist, wo der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. In diesem Beispiel ist er bis bis zum Wendepunkt rechtsgekrümmt und ab dem Wendepunkt linksgekrümmt.
Zwischen zwei Extrempunkten (Maxima/Minima = Hochpunkt/Tiefpunkt) liegt z.b. immer ein Wendepunkt.
Den Wendepunkt bestimmst du mit Hilfe der 2. Ableitung deiner Funktion.
Dort, wo die 2. Ableitung Null $\ f''(x) $ ist, also $\ [mm] f''(x_0) [/mm] = 0 $, liegt dein Wendepunkt.
Das ist allerdings erst die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt.
Erst, wenn die dritte Ableitung $\ [mm] f'''(x_0) [/mm] $ an dieser Stelle einen anderen Wert als null annimmt, kannst du mit sicherheit sagen, dass an der Stelle $\ [mm] x_0 [/mm] $ ein Wendepunkt liegt. Das wäre deine hinreichende Bedingung.
Ich hoffe du weisst nun ein wenig mehr über Wendepunkte und wo sie liegen könnten.
Zur Symmetrie:
Ein Graph ist dann Achsensymmetrisch, wenn er an der y-Achse spiegelsymmetrisch ist. Also die rechte Seite indentisch ist mit der linken Seite, ums mal sehr frei zu formulieren.
Folgendes Bild zeigt einen achsensymmetrischen Graphen
schau mal hier: Achsensymmetrischer Graph
Bei der Punktsymmetrie handelt es sich um Graphen, die um den Ursprung herum symmetrisch sind.
Das lässt sich durch dieses Bild hier veranschaulichen:
Punktsymmetrischer Graph
Mathematisch:
Achsensymmetrie ist gegeben wenn gilt $\ f(-x) [mm] \, [/mm] = [mm] \, [/mm] f(x) $
Das ist immer dann der Fall, wenn du nur positive Exponenten für $\ x $ hast.
Beispiel: $\ f(x) = [mm] x^4+x^2+a [/mm] $, a kann irgendeine Zahl sein.
Aufgrund der positiven exponenten wird jede negative Basis $\ -x$ zu einer positiven Zahl x.
Punktsymmetrie: $\ f(-x) [mm] \, [/mm] = [mm] \, [/mm] -f(x) $
Das ist dann der Fall, wenn du nur negative Exponenten hast.
Beispiel: $\ f(x) = [mm] x^3+x+a [/mm] $
dort bleibt jeder negative Wert für $\ x$ auch negativ, weil der Exponent ungerade ist.
Ich hoffe ich konnte dir soweit irgendwie Helfen.
Bevor ich etwas zum Limes schreibe, lass ich die Frage noch teilweise offen, so dass sich diesbezüglich jemand zu Wort melden kann, der das Ganze ein wenig besser weiss als ich es vermutlich tu.
Viele Grüße!
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo PeterSteiner!
Bei diesem Grenzwert [mm] $x\rightarrow\pm\infty$ [/mm] untersucht man, wie sich eine Funtkion für sehr kleine bzw. sehr große x-Werte verhält.
Bei ganzrationalen Funktionen kann hier entweder [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] herauskommen.
Bei gebrochenrationalen Funktionen kann aber auch z.B. die x-Achse oder z.B. eine andere Gerade eine Asymptote sein, mit welcher sich die gebrochenrationale Funktion annähern lässt.
Gruß
Loddar
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Inflection_point.png/656px-Inflection_point.png){kind=small}
Wendepunkt graphisch![[]](http://www.abiturloesung.de/aufgaben/upload/2007/GK/Infinitesimalrechnung/II/1a/loesung/parabel2.jpg){kind=small}
Achsensymmetrischer Graph![[]](http://www.rither.de/images/mathematik/analysis/differentialrechnung/symmetrie/punktsymmetrisch01.gif){kind=small}
Punktsymmetrischer Graph