Wellenpaket < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 03.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das eindimensionale Gaußsche-Wellenpaket
[mm]\Psi(x,t)=N\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(\displaystyle\frac{-(k-k_0)^2}{a^2})\exp(i(kx-\omega(k)t))\ dk[/mm] eine Lösung der eindimensionalen Schrödingergleichung
[mm]i\hbar\displaystyle\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\displaystyle\frac{-\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}[/mm]
für ein freies Teilchen der Masse m ist. |
Mein Lösungsansatz:
[mm]i\hbar\displaystyle\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}=i\hbar N\diplaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(\displaystyle\frac{-(k-k_0)^2}{a^2})\red{i\omega(k)}\exp(i(kx-\omega(k)t))\ dk[/mm]
[mm]\displaystyle\frac{-\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}=\diplaystyle\frac{-\hbar^2N}{2m}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(\displaystyle\frac{-(k-k_0)^2}{a^2})\red{i^2k^2}\exp(i(kx-\omega(k)t))\ dk [/mm]
Meine Frage:
Wenn ich das jetzt vergleiche, stimmt dies nicht mit der eindimensionalen Schrödingergleichung überein. War mein Ansatz falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 So 03.05.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass das eindimensionale Gaußsche-Wellenpaket
> [mm]\Psi(x,t)=N\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\exp(\displaystyle\frac{-(k-k_0)^2}{a^2})\exp(i(kx-\omega(k)t))\ dk[/mm]
> eine Lösung der eindimensionalen Schrödingergleichung
>
> [mm]i\hbar\displaystyle\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=\displaystyle\frac{-\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}[/mm]
>
> für ein freies Teilchen der Masse m ist.
> Mein Lösungsansatz:
> [mm]i\hbar\displaystyle\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}=i\hbar N\diplaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(\displaystyle\frac{-(k-k_0)^2}{a^2})\red{i\omega(k)}\exp(i(kx-\omega(k)t))\ dk[/mm]
Da fehlt ein Minuszeichen.
> [mm]\displaystyle\frac{-\hbar^2}{2m}\displaystyle\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}=\diplaystyle\frac{-\hbar^2N}{2m}\displaystyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \exp(\displaystyle\frac{-(k-k_0)^2}{a^2})\red{i^2k^2}\exp(i(kx-\omega(k)t))\ dk[/mm]
>
> Meine Frage:
> Wenn ich das jetzt vergleiche, stimmt dies nicht mit der
> eindimensionalen Schrödingergleichung überein. War mein
> Ansatz falsch?
Nein. Mit dem Minuszeichen und der richtigen Beziehung zwischen [mm] $\omega$ [/mm] und k stimmt es.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 So 03.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
Danke Rainer.
Gruß,
Adri_an.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 So 03.05.2009 | | Autor: | Adri_an |
Bei der Aufgabenstellung fehlt noch etwas, weil ich gedacht habe es sei zum Lösen nicht relevant.
Zusatz:
Welche Dipersionsrelation [mm]\omega=\omega(k)[/mm] ergibt sich? Zeigen Sie, dass das Gaußsche-Wellenpaket auch eine Lösung der Wellengleichung
[mm]\displaystyle\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}-\displaystyle\frac{1}{c^2}\displaystyle\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial t^2}=0[/mm]
ist. Welche Dispersionsrelation ergibt sich in diesem Fall?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 So 03.05.2009 | | Autor: | Kroni |
Hi,
prinzipiell loest so eine e-Funkion jede lineare DGL. Man muss diese nur so anpassen, dass man die richtige Beziehung zwischen dem [mm] $\omega$ [/mm] und dem $k$ findet. Das nennt man dann Dispersionsrelation.
Also in deinem Fall einfach das Wellenpaket in die DGL einsetzen und dann eine Relation zwischen [mm] $\omega$ [/mm] und $k$ finden, so dass die DGL erfuellt ist.
LG
Kroni
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