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ich hab da mal eine Frage
f und g sind zweimal stetig- differenzierbar auf [mm] \IR [/mm] und
u(x,y) = f(x-ay) + g(x+ay) mit a > 0
hieraus erhalte ich ja, dass
[mm] \bruch {\partial^{2}u}{\partial y^{2}} [/mm] = [mm] a^{2} \bruch {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}
[/mm]
das habe ich ja herausbekommen, nun soll man aber zeigen, dass
[mm] \bruch {\partial^{2}v}{\partial n \partial m} [/mm] = 0
für m = x-ay und n = x+ay und v(m,n)=u(x,y)
dazu soll man [mm] \bruch {\partial^{2}u}{\partial x^{2}} [/mm] und [mm] \bruch {\partial^{2}u}{\partial y^{2}} [/mm] in Abhängigkeit von v, m und n berechnen,
ich weiß leider nicht so richtig wie man das macht
kann mir wer helfen, das wäre sehr nett
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Hallo,
> u(x,y) = f(x-ay) + g(x+ay) mit a > 0
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> hieraus erhalte ich ja, dass
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> [mm]\bruch {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}[/mm] = [mm]a^{2} \bruch {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}[/mm]
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> das habe ich ja herausbekommen, nun soll man aber zeigen,
> dass
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> [mm]\bruch {\partial^{2}v}{\partial n \partial m}[/mm] = 0
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> für m = x-ay und n = x+ay und v(m,n)=u(x,y)
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> dazu soll man [mm]\bruch {\partial^{2}u}{\partial x^{2}}[/mm] und
> [mm]\bruch {\partial^{2}u}{\partial y^{2}}[/mm] in Abhängigkeit von
> v, m und n berechnen,
ich denke, das ist so gemeint:
[mm]v\left( {m,\;n} \right)\; = \;u\left( {x\left( {m,\;n} \right),\;y\left( {m,\;n} \right)} \right)[/mm]
Dann ergeben sich die partiellen Ableitungen nach der Kettenregel wie folgt:
[mm]
\begin{gathered}
v_{m} \; = \;u_{x} \;x_{m} \; + \;u_{y} \;y_{m} \hfill \\
v_{n} \; = \;u_{x} \;x_{n} \; + \;u_{y} \;y_{n} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Die zweiten partiellen Ableitungen sehen dann so aus:
[mm]
\begin{gathered}
v_{mm} = \;\frac{{\delta u_x \;x_m \; + \;u_y \;y_m }}
{{\delta x}}\;x_m \; + \;\frac{{\delta u_x \;x_m \; + \;u_y \;y_m }}
{{\delta y}}\;y_m \; + \;u_x \;\frac{{\delta ^2 x}}
{{\delta m^2 }}\; + \;u_y \;\frac{{\delta ^2 y}}
{{\delta m^2 }} \hfill \\
v_{mn} = \;\frac{{\delta u_x \;x_m \; + \;u_y \;y_m }}
{{\delta x}}\;x_n \; + \;\frac{{\delta u_x \;x_m \; + \;u_y \;y_m }}
{{\delta y}}\;y_n \; + \;u_x \;\frac{{\delta ^2 x}}
{{\delta m\delta n}}\; + \;u_y \;\frac{{\delta ^2 y}}
{{\delta m\delta n}} \hfill \\
v_{nn} = \;\frac{{\delta u_x \;x_n \; + \;u_y \;y_n }}
{{\delta x}}\;x_n \; + \;\frac{{\delta u_x \;x_n \; + \;u_y \;y_n }}
{{\delta y}}\;y_n \; + \;u_x \;\frac{{\delta ^2 x}}
{{\delta n^2 }}\; + \;u_y \;\frac{{\delta ^2 y}}
{{\delta n^2 }} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Um das jetzt auszurechnen, mußt Du x und y in Abhängigkeit von m und n darstellen, also x=x(m,n); y=y(m,n).
Wahrscheinlich ist es hier besser, diese Funktion zu verwenden:
[mm]v\left( {m\left( {x,\;y} \right),\;n\left( {x,\;y} \right)} \right)\; = \;u\left( {x,\;y} \right)[/mm]
Das Schema hier ist das gleiche.
Gruß
MathePower
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