Wellengl. mit RB Reflexionsmet < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Fr 22.04.2016 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale Wellengleichung analytisch:
[mm] u_{tt}=c^{2}u_{xx} [/mm] in [mm] \IR \times (0,1) [/mm] unten den Randbedingungen [mm] u(t,0)=0=u(t,1) [/mm]
zu den Anfangsbedingungen [mm] u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm]. |
Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da [mm] sin [/mm] eine ungerage Funktion ist).
Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die PDGL gelöst.
Da erhalte ich:
[mm] u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct))) [/mm]
Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm]. Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen machen muss.
Vielleicht kann mir da jemand helfen.
Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss ich bei meiner Lösung beachten?
Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße
riju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Fr 22.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende
> Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale
> Wellengleichung analytisch:
>
> [mm]u_{tt}=c^{2}u_{xx}[/mm] in [mm]\IR \times (0,1)[/mm] unten den
> Randbedingungen [mm]u(t,0)=0=u(t,1)[/mm]
> zu den Anfangsbedingungen [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm].
>
> Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und
> die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da
> [mm]sin[/mm] eine ungerage Funktion ist).
>
> Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die
> PDGL gelöst.
> Da erhalte ich:
> [mm]u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct)))[/mm]
>
> Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm].
> Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen
> machen muss.
> Vielleicht kann mir da jemand helfen.
> Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss ich bei
> meiner Lösung beachten?
>
Ich verstehe Dein Problem nicht. Auch die Randbedingung u(t,1)=0 ist erfüllt.
Ebenso sind $ [mm] u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi [/mm] x)$ und $ [mm] u_{t}(0,x)=sin(\pi [/mm] x) $ erfüllt.
FRED
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Liebe Grüße
> riju
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Fr 22.04.2016 | | Autor: | riju |
> > Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende
> > Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale
> > Wellengleichung analytisch:
> >
> > [mm]u_{tt}=c^{2}u_{xx}[/mm] in [mm]\IR \times (0,1)[/mm] unten den
> > Randbedingungen [mm]u(t,0)=0=u(t,1)[/mm]
> > zu den Anfangsbedingungen [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm].
>
> >
> > Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und
> > die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da
> > [mm]sin[/mm] eine ungerage Funktion ist).
> >
> > Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die
> > PDGL gelöst.
> > Da erhalte ich:
> > [mm]u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct)))[/mm]
>
> >
> > Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm].
> > Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen
> > machen muss.
> > Vielleicht kann mir da jemand helfen.
> > Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss ich bei
> > meiner Lösung beachten?
> >
>
>
> Ich verstehe Dein Problem nicht. Auch die Randbedingung
> u(t,1)=0 ist erfüllt.
>
> Ebenso sind [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x)[/mm] und
> [mm]u_{t}(0,x)=sin(\pi x)[/mm] erfüllt.
>
> FRED
>
Somit ist das Problem gelöst?
Ich verstehe, dass mit den Randbedingungen nicht. Ich hab die eigentlich nicht beachtet bei der Aufstellung von [mm] u(t,x) [/mm].
riju
>
> > Vielen Dank im Voraus.
> >
> > Liebe Grüße
> > riju
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Fr 22.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende
> > > Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale
> > > Wellengleichung analytisch:
> > >
> > > [mm]u_{tt}=c^{2}u_{xx}[/mm] in [mm]\IR \times (0,1)[/mm] unten den
> > > Randbedingungen [mm]u(t,0)=0=u(t,1)[/mm]
> > > zu den Anfangsbedingungen [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm].
>
>
> >
> > >
> > > Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und
> > > die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da
> > > [mm]sin[/mm] eine ungerage Funktion ist).
> > >
> > > Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die
> > > PDGL gelöst.
> > > Da erhalte ich:
> > > [mm]u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct)))[/mm]
>
> >
> > >
> > > Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm].
> > > Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen
> > > machen muss.
> > > Vielleicht kann mir da jemand helfen.
> > > Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss ich
> bei
> > > meiner Lösung beachten?
> > >
> >
> >
> > Ich verstehe Dein Problem nicht. Auch die Randbedingung
> > u(t,1)=0 ist erfüllt.
> >
> > Ebenso sind [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x)[/mm] und
> > [mm]u_{t}(0,x)=sin(\pi x)[/mm] erfüllt.
> >
> > FRED
> >
>
> Somit ist das Problem gelöst?
> Ich verstehe, dass mit den Randbedingungen nicht. Ich hab
> die eigentlich nicht beachtet bei der Aufstellung von
> [mm]u(t,x) [/mm].
>
Wie hast Du denn [mm]u(t,x) [/mm] berechnet ?
FRED
> riju
>
> >
> > > Vielen Dank im Voraus.
> > >
> > > Liebe Grüße
> > > riju
> >
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:06 Fr 22.04.2016 | | Autor: | riju |
> > > > Lösen Sie mittels der Reflexionsmethode das folgende
> > > > Anfangs-Randwertproblem für die eindimensionale
> > > > Wellengleichung analytisch:
> > > >
> > > > [mm]u_{tt}=c^{2}u_{xx}[/mm] in [mm]\IR \times (0,1)[/mm] unten den
> > > > Randbedingungen [mm]u(t,0)=0=u(t,1)[/mm]
> > > > zu den Anfangsbedingungen [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x), u_{t}(0,x)=sin(\pi x) [/mm].
>
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> >
> > >
> > > >
> > > > Also ich weiß, dass ich Dirichlet-Randbedingungen habe und
> > > > die Randbedingungen irgendwie ungerade fortsetzen muss (da
> > > > [mm]sin[/mm] eine ungerage Funktion ist).
> > > >
> > > > Als erstes habe ich mit Hilfe der d'Alembert-Formel die
> > > > PDGL gelöst.
> > > > Da erhalte ich:
> > > > [mm]u(t,x)=\bruch{1}{2 c \pi}(sin(\pi(x+ct))+sin(\pi(x-ct))+cos(\pi(x-ct))-cos(\pi(x+ct)))[/mm]
>
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> > >
> > > >
> > > > Die Lösung stimmt für die Randbedingung [mm]u(t,0)=0[/mm].
> > > > Allerdings weiß ich nicht, was ich mit den Randbedingungen
> > > > machen muss.
> > > > Vielleicht kann mir da jemand helfen.
> > > > Wie setzte ich die ungerade fort? Und was muss
> ich
> > bei
> > > > meiner Lösung beachten?
> > > >
> > >
> > >
> > > Ich verstehe Dein Problem nicht. Auch die Randbedingung
> > > u(t,1)=0 ist erfüllt.
> > >
> > > Ebenso sind [mm]u(0,x)=\bruch{1}{c \pi} sin(\pi x)[/mm] und
> > > [mm]u_{t}(0,x)=sin(\pi x)[/mm] erfüllt.
> > >
> > > FRED
> > >
> >
> > Somit ist das Problem gelöst?
> > Ich verstehe, dass mit den Randbedingungen nicht. Ich
> hab
> > die eigentlich nicht beachtet bei der Aufstellung von
> > [mm]u(t,x) [/mm].
> >
>
>
> Wie hast Du denn [mm]u(t,x)[/mm] berechnet ?
>
> FRED
Wir haben in der Vorlesung für die Wellengleichung die d'Alembert-Formel hergeleitet. Die lautet:
[mm] u(t,x)=\bruch{1}{2}(u_{0}(x+ct)+u_{0}(x-ct))+\bruch{1}{2c}\integral_{x-ct}^{x+ct}{u_{1}(y) dy} [/mm]
mit der Anfangsauslenkung [mm]u(0,x)=u_{0}(x) [/mm] und einer Anfangsgeschwindigkeit [mm] u_{t}(0,x)=u_{1}(x) [/mm].
Somit habe ich nur in [mm] u(t,x) [/mm] meine Anfangsbedingungen eingesetzt und ausgerechnet. Die Randbedingungen habe ich allerdings nirgendwo berücksichtigt. Ich verstehe, dass auch mit der ungeraden Fortsetzung nicht.
Liebe Grüße
riju
> > riju
> >
> > >
> > > > Vielen Dank im Voraus.
> > > >
> > > > Liebe Grüße
> > > > riju
> > >
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 So 24.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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