Welches Konergenzkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 So 12.11.2006 | | Autor: | Jan85 |
| Aufgabe | konverent oder divergent?
a) [mm] \summe_{n}^{} [/mm] (n / ( n+1) ) ^2
[mm] b)\summe_{n}^{} \vektor{4n \\ 3n} [/mm] ^-1 |
Hallo
kann mir jemand beim Lösen helfen?
also im Teil a) kommt beim Wurzel/Quot. Kriterium immer als Grenzwert 1 raus. Leibnitz Kriterium ist ja nicht anwendbar, da nicht alternierend...Was kann ich tun? Integralkriterium hat mich auch zu keinem Ergebnis gebracht...
zum Teil b) ich komme mit dem 3n über 4n nicht klar. Das Quotientenkriterium erscheint mir am geeignetsten, aber letztendlich bekomme ich nen Riesenbruch raus, der mich nicht weiterbringt
danke im Voraus
Jan
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:37 So 12.11.2006 | | Autor: | Nansen |
Also bei a) stimme ich Dir zu. Es würde aber bereits reichen, wenn Du sagst, dass [mm] ((n+1)/n)^2 [/mm] keine Nullfolge ist (sie konvergiert gegen 1). Und damit divergiert Deine Reihe.
Zu b)
Ich habe das mal zu Fuß angeschaut und dann mal bei Mathematica das Quotientenkrieterium berechnen lassen:
Heraus kommt dann so was:
4n(-1+2n)(-1+4n)Gamma[2+n]Gamma[4+3n]
---------------------------------------------------------
3 Gamma [5+4n]
Gamma ist hier die Eulersche Gammafunktion. Mathematica sagt, dieser Ausdruck würde gegen 0 gehen, für n gegen Unendlich. Vielleicht kannst Du aber sinniger mit einer Majorante/Minorante aus Deiner Vorlesung argumentieren.
Viel Erfolg
Nansen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 So 12.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich würde wie folgt vorgehen:
Aufgabe a)
abschätzen des Terms [mm] \br{n}{n+1}
[/mm]
[mm] \br{n}{n+1}\ge\br{1}{2}, [/mm] also gilt [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\br{n}{n+1}\right)^2\ge\summe_{n=1}^{\infty}\br{1}{2} [/mm] also divergoert die Reihe
Aufgabe b)
[mm] \br{\br{1}{\vektor{4(n+1) \\ 3(n+1)}}}{ \br{1}{\vektor{4n \\ 3n}}}=\br{(3n+1)(3n+2)(3n+3)(n+1)}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)4n+4)} [/mm] und das konvergiert gegen [mm] \br{27}{256} [/mm] für n gegen [mm] \infty
[/mm]
also ist die Reihe konvergent.
mfg ullim
|
|
|
|
