Welche Peano-Axiome gelten < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Mo 25.04.2011 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Welche der Peano-Axiome gelten für die folgenden Paare (N; s) einer Menge
N und einer Abbildung s : N -> N:
N = [mm] \IN \cup [/mm] { [mm] \IN [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] }
s(x)=x+1 |
Hallo!
Ich sitze nun schon seit Stunden an dieser Aufgabe, die doch eigentlich nicht so schwer sein kann und trotzdem komme ich nicht drauf.
Also ich habe mir zuerst die Mengen N und s(N) aufgeschrieben:
N={1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5...} (wir hatten die natürlichen Zahlen in der Vl ohne Null definiert)
s(N)={2; 2,5; 3; 3,5;...}
Die Peano-Axiome hatten wir in der Vl so definiert:
P1) 1 [mm] \not\in s(\IN)
[/mm]
P2) s ist injektiv
P3) Induktionsprinzip: Sei A [mm] \subset \IN, [/mm] s(A) [mm] \subset [/mm] A, 1 in A. Dann gilt [mm] A=\IN
[/mm]
Zu P1) Dass 1 nicht in s(N) ist sieht man ja schon, wenn man s(N) aufschreibt.
Zu P2) Hier kommen bei mir schon Probleme. Ich muss doch zeigen: Für alle x1,x2 aus N gilt: aus s(x1)=s(x2) folgt x1=x2.
s(x1)=s(x2)--> x1+1=x2+1-->x1=x2
Stimmt das? Irgendwie kommt mir das komisch vor...
Zu P3) Hier weiß ich gar nicht, was ich zeigen muss.
Was ist denn A bei mir? Ist das N (also die gegebene Menge)?
Wenn das so ist, dann gilt ja bereits nicht N in [mm] \IN, [/mm] oder? Dann gilt das Induktionsprinzip doch sowieso nicht...
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Anette.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Di 26.04.2011 | | Autor: | meili |
Hallo Anette,
> Welche der Peano-Axiome gelten für die folgenden Paare (N;
> s) einer Menge
> N und einer Abbildung s : N -> N:
> N = [mm]\IN \cup \{ \IN + \bruch{1}{2} \} [/mm]
> s(x)=x+1
> Hallo!
> Ich sitze nun schon seit Stunden an dieser Aufgabe, die
> doch eigentlich nicht so schwer sein kann und trotzdem
> komme ich nicht drauf.
> Also ich habe mir zuerst die Mengen N und s(N)
> aufgeschrieben:
> N={1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5...} (wir hatten die natürlichen
> Zahlen in der Vl ohne Null definiert)
> s(N)={2; 2,5; 3; 3,5;...}
>
> Die Peano-Axiome hatten wir in der Vl so definiert:
> P1) 1 [mm]\not\in s(\IN)[/mm]
> P2) s ist injektiv
> P3) Induktionsprinzip: Sei A [mm]\subset \IN,[/mm] s(A) [mm]\subset[/mm] A,
> 1 in A. Dann gilt [mm]A=\IN[/mm]
>
> Zu P1) Dass 1 nicht in s(N) ist sieht man ja schon, wenn
> man s(N) aufschreibt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zu P2) Hier kommen bei mir schon Probleme. Ich muss doch
> zeigen: Für alle x1,x2 aus N gilt: aus s(x1)=s(x2) folgt
> x1=x2.
> s(x1)=s(x2)--> x1+1=x2+1-->x1=x2
> Stimmt das? Irgendwie kommt mir das komisch vor...
>
> Zu P3) Hier weiß ich gar nicht, was ich zeigen muss.
> Was ist denn A bei mir? Ist das N (also die gegebene
> Menge)?
> Wenn das so ist, dann gilt ja bereits nicht N in [mm]\IN,[/mm] oder?
> Dann gilt das Induktionsprinzip doch sowieso nicht...
Muss P3 für (N;s) nicht
P3) Induktionsprinzip: Sei A [mm]\subset N,[/mm] s(A) [mm]\subset[/mm] A, 1 in A. Dann gilt [mm]A=N[/mm]
sein?
Ja, dann gilt es nicht, wenn Du A = [mm] $\IN$ [/mm] wählst.
>
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Anette.
>
Gruß
meili
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