Weierstraßscher appr.satz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:46 Mo 26.03.2007 | | Autor: | anitram |
| Aufgabe | Der weierstraßsche approximationssatz besagt, dass man zu jedem x aus C[a,b] eine Polynomfolge [mm] (p_{k}) [/mm] finden kann, die gleichmäßig auf [a,b] gegen x konvergiert.
Formuliere diesen Satz mit der Maximumsnorm und prüfe, worin sein unterschied zur Tschebyscheffschen Approximationsaussage besteht. |
hallo!!
habe diese aufgabe (hoffe ich) gelöst, und nun interessiert mich, ob denn das auch so stimmt.
eine andere formulierung von diesem satz ist:
zu jedem f aus C[a,b] und jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 gibt es ein Polynom p, so dass [mm] |f(x)-p(x)|<\epsilon [/mm] für alle x aus [a,b].
mit der maximumsnorm habe ich den satz so formuliert: (und glm.konvergenz in C[a,b] ist gleichbedeutend mit der Konvergenz im Sinne der Maximumsnorm):
für alle f aus C[a,b] und alle [mm] \epsilon [/mm] >0 gibt es ein p, so dass [mm] \parallel f-p\parallel_{\infty} [/mm] = max|f(t)-p(t)| < [mm] \epsilon.
[/mm]
die tschebyscheffsche approsximationsaufgabe lautet so:
[mm] max|x_{0}(t)-p_{0}(t)| \le max|x_{0}(t)-p(t)| [/mm] für alle p
und das ist ja das gleiche wie:
[mm] \parallel x_{0}-p_{0} \parallel_{\infty} \le \parallel x_{0} [/mm] -p [mm] \parallel_{\infty} [/mm] für alle p.
und das heißt ja grad wieder, dass
[mm] \parallel x_{o}-p \parallel \le \epsilon.
[/mm]
nun wäre ja aber gar kein unterschied zu erkennen.
stimmt das denn?
bin mir irgendwie sehr unsicher, dass das so einfach ginge!
vielen dank schon mal im voraus!
lg anitram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Do 12.04.2007 | | Autor: | anitram |
halli hallo!
ich probiers einfach nocheinmal!
vielleicht kann mir ja jemand einen tipp zu meiner frage geben?
ich wäre wirklich dankbar!
lg anitram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:41 Di 24.04.2007 | | Autor: | anitram |
guten morgen!
leider konnte mir bis jetzt noch niemand bei meiner aufgabe helfen!
vielleicht klappts ja diesmal!
ich wäre euch echt dankbar, für jeden noch so kleinen hinweis!
danke schon mal im voraus!
lg anitram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Mi 25.04.2007 | | Autor: | anitram |
halli hallo!
weiß immer noch nicht weiter bei dieser frage...
vielleicht hilfts ja wenn ich eine aktuelle frage stelle!
kann mir bitte jemand helfen, und mir sagen, ob das was ich vermute (in meiner ersten frage) stimmt oder nicht???
wäre euch wirklich dankbar!
lg anitram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Do 26.04.2007 | | Autor: | wauwau |
wenn du uns verrätst, was die [mm] x_{0} [/mm] und [mm] p_{0} [/mm] plötzlich im Zusammenhang mit diner Aufgabe stehen, können wir dir vielleicht weiterhelfen. Oder aber du postest das was du unter Tschebysch. Approximationsaufgabe wirklich verstehst. (ein polynom zu finden,das...)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:21 Do 26.04.2007 | | Autor: | anitram |
das ist wohl etwas verwirrend, ja....
also die tschebascheffsche approximationsaufgabe lautet so:
[mm] x_{0}:[a,b]\to [/mm] R sei eine stetige Funktion
In der Menge [mm] P_{n} [/mm] aller Polynome [mm] p(t):=\alpha_{0}+\alpha_{1}t+...+\alpha_{n}t^{n} [/mm] vom Grad [mm] \le [/mm] n (n fest vorgegeben) wird ein [mm] p_{0} [/mm] gesucht, dessen Maximalabweichung von [mm] x_{0} [/mm] kleiner(oder jedenfalls nicht größer) ist als die Maximalabweichung eines jeden anderen p [mm] \in P_{n} [/mm] von [mm] x_{0}:
[/mm]
und das kann ich auch so schreiben:
[mm]max|x_{0}(t)-p_{0}(t)| \le max|x_{0}(t)-p(t)|[/mm] für alle p.
das war natürlich nicht sehr schlau, das nur so kurz hinzuschreiben.
ich hoffe die aufgabe ist nun verständlicher?
lg anitram
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Do 26.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Meines Erachtens ist der einzige Unterschied daran, dass der eine Satz nur die prinzipielle Existenz eine Polynomfolge zeigt, der andere sogar die Existenz eine bestmöglichen Polynomfolge, was beim konkreten Approximationsproblem sehr wichtig ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Do 26.04.2007 | | Autor: | anitram |
von diesem blickwinkel hab ich das problem noch gar nicht gesehen!
ich werd mir da jetzt mal drüber nachdenken!!
vielen dank, dass du mir auf diese frage geantwortet hast!!!
lg anitram
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Do 10.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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