Weierstraßscher Konvergenzsatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich soll folgenden Satz beweisen:
Sei [mm](f_n)_{n>=1}[/mm] eine Folge auf ABSCHLUSS [mm] K_1(0) [/mm] stetiger und auf [mm] K_1(0) [/mm] holomorpher Funktionen.
Zeige:
Ist [mm](f_n)_{n>=1}[/mm] gleichmässig konvergent auf RAND [mm] K_1(0),
[/mm]
so existiert eine auf ABSCHLUSS [mm] K_1(0) [/mm] stetige und auf [mm] K_1(0) [/mm] holomorphe Funktion mit [mm]\lim_{n \to \infty}f_n(z)=f(z)[/mm] für alle z aus dem ABSCHLUSS von [mm] K_1(0).
[/mm]
Dieser Satz ist offenbar eine Abwandlung des Weierstraßschen Konvergenzsatzes. Dennoch bekomme ich den Beweis hin.
Die auftretenden Kreise [mm] K_1(0) [/mm] sind beschränkte Gebiete und die [mm] f_n's [/mm] sind holomorph auf [mm] K_1(0).
[/mm]
Mein erster Ansatz war dann, mit dem Maximum-Prinzip zu arbeiten.
Aber dieses scheint mich leider auch nicht weiter zu bringen.
Vielleicht kann mir da jemand auf die Sprünge helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
Also mein Ansatz taugt nicht viel.
Ich versuche es aber mal mit Deinem (,wenn ich darf  ):
Es sei [mm](f_n)_{n>=1}[/mm].
[mm](f_n)_{n>=1}[/mm] ist stetig auf dem RAND von [mm] K_1(0) [/mm] und auf [mm] K_1(0) [/mm] holomorph.
Dann nimmt [mm](|f_n|)_{n>=1}[/mm] auf dem RAND von [mm] K_1(0) [/mm] sein Maximum an und es gilt:
[mm][mm] (|f_n|)(z)<=max{|f_n(z_0)|; z ist Randpunkt; n \in \IN} [/mm] für alle z aus [mm] K_1(0).
[/mm]
Nach Vor. konvergieren alle [mm] f_n [/mm] glm. auf dem RAND. ALso ist [mm](|f_n|)_{n>=1}[/mm] eine Cauchyfolge. Dann gilt:
[mm]|f_n(z_0)-f_m(z_0)|[/mm]=...??? für alle Randpunkte [mm] z_0. [/mm]
Hier hapert es noch.
Vielleicht kannst DU mir hier nochmal helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Di 21.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, so nicht. Ich habe es wohl schlecht erklärt.
Es seien $n,m [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig gewählt. Dann gilt nach dem Maximumprinzip, angewendet auf die holomorphe Funktion [mm] $f_n-f_m$, [/mm] für alle $z [mm] \in \overline{K_1(0)}$:
[/mm]
(*) [mm] $|f_n(z) [/mm] - [mm] f_m(z)| \le \sup\limits_{z \in \partial K_1(0)} |f_n(z) [/mm] - [mm] f_m(z)|$.
[/mm]
Da [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] auf [mm] $\partial K_1(0)$ [/mm] gleichmäßig konvergent ist, folgt für alle $z [mm] \in \overline{K_1(0)}$:
[/mm]
[mm] $\lim\limits_{n,m\to \infty} |f_n(z)-f_m(z)| [/mm] =0$,
d.h. für festes $z [mm] \in \overline{K_1(0)}$ [/mm] ist [mm] $(f_n(z))_{n \in \IN}$ [/mm] eine Cauchy-Folge in [mm] $\IC$. [/mm] Wir bezeichnen den Grenzwert mit $f(z)$. Geht man nun in zum Grenzübergang für $m [mm] \to \infty$ [/mm] über (und beachtet dabei wieder die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge auf dem Rand), so erhält man für alle $z [mm] \in \overline{K_1(0)}$:
[/mm]
[mm] $|f_n(z) [/mm] - f(z)| [mm] \le \sup\limits_{z \in \partial K_1(0)} |f_n(z) [/mm] - f(z)|$,
also auch:
[mm] $\sup\limits_{z \in \overline{K_1(0)}} |f_n(z) [/mm] - f(z)| [mm] \le \sup\limits_{z \in \partial K_1(0)} |f_n(z) [/mm] - f(z)|$.
Da [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] auf [mm] $\partial K_1(0)$ [/mm] gleichmäßig konvergiert, folgt daraus die gleichmäßige Konvergenz von [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] gegen $f$ auf [mm] $\overline{K_1(0)}$.
[/mm]
Die Holomorphie von $f$ ergibt sich nun aus dem Satz von Weierstraß.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
Vielen Dank für Deine Antwort und Sorry, dass ich mich erst jetzt melde.
Gestern hatte ich keine Chance, den Matheraum aufzurufen. Es war wie verhext.
Dein Beweis ist klasse (hätte ich auch nicht anders erwartet).
Dennoch meine ich, dass Du an einigen Stellen ABSCHLUSS von [mm] K_1(0) [/mm] und [mm] K_1(0) [/mm] verwechselt hast. Zumindest haben wir das Maximum-Prinzip bzgl. der Ungleichung nur für alle z aus [mm] K_1(0) [/mm] kennengelernt.
Das wäre meiner Meinung nach an den entsprechenden Stellen abzuändern.
Anonsten: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Eine Frage bleibt noch:
Da die Grenzfuntion holomorph auf [mm] K_1(0) [/mm] ist, ist sie dort auch stetig.
Ich brauche aber auch noch die Stetigkeit auf dem ABSCHLUSS.
Leider finde ich keine Begründung, warum f auch auf dem RAND stetig ist.
Denn dann wäre sie natürlich auch auf dem ABSCHLUSS stetig.
Vielleicht hast Du da noch eine Idee.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Do 23.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Ich verstehe den Einwand nicht so recht. Die Ungleichung bleibt doch insbesondere dann gültig, wenn ich die Randpunkte dazunehme, schließlich wird auf der rechten Seite ja gerade das Supremum über die Randpunkte genommen und die linke Seite kann nicht größer werden, wenn ich die dann links noch dazunehme.
Und dann ist $f$ als Grenzfunktion einer auf dem Abschluss gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen stetig (am Rand natürlich die entsprechende "eingeschränkte" Stetigkeit, also Stetigkeit in der Relativtopologie).
Viele Grüße
Stefan
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Man muss es nur zuerst für [mm] $f_n-f_m$ [/mm] anwenden, dann daraus schließen, dass im Inneren der punktweise Limes existiert (Cauchy-Folgen konvergieren in [mm] $\IC$), [/mm] anschließend durch Grenzübergang und anschließende Supremumsbildung in der vorher gewonnen Ungleichung zeigen, dass die Konvergenz im Inneren auch gleichmäßig ist und dann Weierstraß anwenden.
