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| Aufgabe | Wann ist ein Kurvenintegral wegunabhängig?
Ich finde das im Internet nicht so einfach zu verstehen |
Gegeben ist die Funktion v: [mm] U\subset\IR^n\to\IR^n
[/mm]
Das Kurvenintegral
[mm] \integral_{\gamma}{v(x) dx}
[/mm]
ist Wegunabhängig, wenn die Jacobi Matrix symmetrisch ist [mm] J_v=J_v^T
[/mm]
und der Definitionsbereich U einfach zusammenhängend ist
Sind das wirklich die einzigen bedingungen? ich finde es komsich das es egal ist wie die Kurve [mm] \gamma [/mm] definiert ist
Hängt die Wegunabhängigkeit nicht von der Kurve [mm] \gamma [/mm] ab?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Fr 09.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wann ist ein Kurvenintegral wegunabhängig?
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> Ich finde das im Internet nicht so einfach zu verstehen
> Gegeben ist die Funktion v: [mm]U\subset\IR^n\to\IR^n[/mm]
>
> Das Kurvenintegral
>
> [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm]
>
> ist Wegunabhängig, wenn die Jacobi Matrix symmetrisch ist
> [mm]J_v=J_v^T[/mm]
> und der Definitionsbereich U einfach zusammenhängend ist
>
> Sind das wirklich die einzigen bedingungen? ich finde es
> komsich das es egal ist wie die Kurve [mm]\gamma[/mm] definiert ist
> Hängt die Wegunabhängigkeit nicht von der Kurve [mm]\gamma[/mm]
> ab?
Warum nimmst Du Dir nicht die Def. her ??????..
Das Integral [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm] heißt in U wegunabhängig
[mm] \gdw
[/mm]
für jede Kurve [mm] \gamma [/mm] in U hängt [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm] nur vom Anfangspunkt und Endpunkt von [mm] \gamma [/mm] ab.
FRED
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> Das Integral [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm] heißt in U
> wegunabhängig
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> [mm]\gdw[/mm]
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> für jede Kurve [mm]\gamma[/mm] in U hängt [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm]
> nur vom Anfangspunkt und Endpunkt von [mm]\gamma[/mm] ab.
>
Und woher weiß ich dass das Integral [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm] nur von dem Anfangspunkt und Endpunkt von [mm]\gamma[/mm] abhängt?
Wie prüfe ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Fr 09.10.2015 | | Autor: | fred97 |
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> > Das Integral [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm] heißt in U
> > wegunabhängig
> >
> > [mm]\gdw[/mm]
> >
> > für jede Kurve [mm]\gamma[/mm] in U hängt [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm]
> > nur vom Anfangspunkt und Endpunkt von [mm]\gamma[/mm] ab.
> >
>
> Und woher weiß ich dass das Integral
> [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm] nur von dem Anfangspunkt und
> Endpunkt von [mm]\gamma[/mm] abhängt?
Z.B., wenn die Jacobi Matrix symmetrisch ist $ [mm] J_v=J_v^T [/mm] $
und der Definitionsbereich U einfach zusammenhängend ist .
Fred
> Wie prüfe ich das?
>
>
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hast du vielleicht ein beispiel für mich?
ich weiß zum beispiel nicht wie ich den definitionsbereich U auf die eigenschaft "einfach zusammenhängend" prüfen kann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Mo 12.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:12 So 11.10.2015 | | Autor: | Chris84 |
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> > Das Integral [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm] heißt in U
> > wegunabhängig
> >
> > [mm]\gdw[/mm]
> >
> > für jede Kurve [mm]\gamma[/mm] in U hängt [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm]
> > nur vom Anfangspunkt und Endpunkt von [mm]\gamma[/mm] ab.
> >
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> Und woher weiß ich dass das Integral
> [mm]\integral_{\gamma}{v(x) dx}[/mm] nur von dem Anfangspunkt und
> Endpunkt von [mm]\gamma[/mm] abhängt?
> Wie prüfe ich das?
>
>
>
Hallo,
ich will mich auch 'mal dazu aeussern (aus der Sicht eines Physikers. Man verzeihe mir bitte einige mathematische Ungenauigkeiten^^).
Du weisst aus 1D, dass
[mm] $\int_a^b [/mm] f(x) dx = F(b)-F(a)$ mit $F'(x) = f(x)$ oder aequivalent [mm] $\int_a^b [/mm] f'(x) dx = f(b)-f(a)$
In 3D (oder $n$D) kannst du fast genauso machen, mit dem Unterschied, dass es nicht immer eine Stammfunktion geben muss.
Wenn (!) es eine Funktion $U: [mm] \IR^n \rightarrow \IR$ [/mm] gibt mit [mm] $\nabla [/mm] U = v$, dann gilt
fuer eine Kurve [mm] $\gamma: [/mm] [a,b] [mm] \rightarrow \IR^n$:
[/mm]
[mm] $\int_{\gamma} [/mm] v [mm] dx=\int_a^b <\nabla [/mm] U [mm] (\gamma(t)), \gamma'(t)> [/mm] dt = [mm] U(\gamma(b))-U(\gamma(a))$,
[/mm]
also haengt das Integral nur von den Endpunkten [mm] $\gamma(a)$ [/mm] und [mm] $\gamma(b)$ [/mm] ab.
Wenn man nun so ne Funktion $U$ hat, gilt insbesondere in 3D:
[mm] $\nabla\times [/mm] v = [mm] \nabla \times \nabla [/mm] U = 0$!!!
Dies ist gerade mit [mm] $J_v [/mm] = [mm] J_v^t$ [/mm] zu identifizieren. (Ich sag mal als Stichwort: Riemannsche Integrabilitaetsbedingungen.)
Tatsaechlich ist obiges nur eine notwendige Bedingung und gilt nur fuer einfach zusammenhaenge Gebiete (eigentlich sternfoermige Gebiete, oder?).
Du musst nur schauen, ob jede Verbindungsstrecke in dem Gebiet liegt (wie in einem Stern). Das kann von Beispiel zu Beispiel immer sehr unterschiedlich sein.
Ein nettes Beispiel fuer Physiker ist immer:
Sei $B: [mm] \IR^3 \backslash \{0\} \rightarrow \IR^3, [/mm] B(x,y,z) = [mm] \frac{1}{x^2+y^2} \vektor [/mm] {-y [mm] \\ [/mm] x [mm] \\ [/mm] 0}$ und [mm] $\gamma:[0,2\pi]\rightarrow \IR^3, \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor {\cos(t) \\ \sin(t) \\ 0}$. [/mm]
Dann gibt es eine Funktion $U$ mit [mm] $\nabla [/mm] U = B$ (welche?), aber es gilt tatsaechlich
[mm] $\int_{\gamma} [/mm] B ds = [mm] 2\pi\not= [/mm] 0$, da [mm] $\IR^3 \backslash \{0\}$ [/mm] nicht sternfoermig/nicht einfach wegzusammenhaengend ist (warum?).
Hilft das ein wenig als Veranschaulichung oder war das zu sehr Physiker-like?
Gruss,
Chris
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