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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Do 16.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Welche Werte kann
[mm] $\int_{\gamma}\frac{1}{1+z^2}\,dz$
[/mm]
annehmen, wenn [mm] $\gamma$ [/mm] alle möglichen Wege von $0$ nach $1$ durchläuft längs derer der Integrand stetig ist. |
Hallo,
irgendwie habe ich keine Idee, wie ich die Aussage zeigen kann. Sei
[mm] $\gamma:[a,b]\rightarrow\C$ [/mm] mit [mm] $\gamma(a)=0$ [/mm] und [mm] $\gamma(b)=1$
[/mm]
Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung bekomme ich
[mm] $\int_{\gamma}\frac{1}{1+z^2}\,dz=\frac{1}{2i}\int_{\gamma}\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\,dz$
[/mm]
Damit darf die Kurve [mm] $\gamma$ [/mm] die Punkte $i$ und $-i$ (aus Stetigkeitsgründen) nicht durchlaufen. Wenn ich nun die Definition des Kurvenintegrals ausnutze, komme ich nicht wirklich weiter. Hat jemand eine Idee?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Do 16.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Welche Werte kann
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> [mm]\int_{\gamma}\frac{1}{1+z^2}\,dz[/mm]
>
> annehmen, wenn [mm]\gamma[/mm] alle möglichen Wege von [mm]0[/mm] nach [mm]1[/mm]
> durchläuft längs derer der Integrand stetig ist.
> Hallo,
>
> irgendwie habe ich keine Idee, wie ich die Aussage zeigen
> kann. Sei
>
> [mm]\gamma:[a,b]\rightarrow\C[/mm] mit [mm]\gamma(a)=0[/mm] und [mm]\gamma(b)=1[/mm]
>
> Mit Hilfe der Partialbruchzerlegung bekomme ich
>
> [mm]\int_{\gamma}\frac{1}{1+z^2}\,dz=\frac{1}{2i}\int_{\gamma}\frac{1}{z+i}-\frac{1}{z-i}\,dz[/mm]
>
> Damit darf die Kurve [mm]\gamma[/mm] die Punkte [mm]i[/mm] und [mm]-i[/mm] (aus
> Stetigkeitsgründen) nicht durchlaufen. Wenn ich nun die
> Definition des Kurvenintegrals ausnutze, komme ich nicht
> wirklich weiter. Hat jemand eine Idee?
Wenn du das Kurvenntegral entlang zweier verschiedener Wege von 0 nach 1 berechnest, so unterscheiden sich die Ergebnisse durch das Kurvenintegral entlang eines geschlossenen Weges. Anders ausgedrückt: das Kurvenintegral entlang eines beliebigen Weges von 0 nach 1 ergibt sich immer als Summe des Kurvenintegrals entlang eines bestimmten, festen Weges und des Kurvenintegrals entlang eines geschlossenen Weges.
Suche die also einen möglichst einfachen Weg von 0 nach 1 und berechne das Kurvenintegral! Dann überlegst du dir, welche Werte das Kurvenintegral entlang eines beliebigen geschlossenen Weges ergeben kann. Die Summe ergibt alle möglichen gesuchten Werte.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 16.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Ist das tatsächlich war? Irgendwie kann ich mir das gar nicht vorstellen. Könntest Du mir das entweder veranschaulicht etwas deutlicher erklären oder mir eine Literaturangabe geben?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Do 16.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ist das tatsächlich war? Irgendwie kann ich mir das gar
> nicht vorstellen. Könntest Du mir das entweder
> veranschaulicht etwas deutlicher erklären oder mir eine
> Literaturangabe geben?
Das ist der ![[]](/images/popup.gif) Integralsatz von Cauchy.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo nochmal,
irgendwie kann ich es leider noch nicht nachvollziehen. Könntest Du mir die Beziehung zwischen "einem beliebigen Integrationsweg [mm] $\gamma$ [/mm] von 0 nach 1" und "einem festen Integrationsweg von 0 nach 1 zusammen mit einer geschlossenen Kurve" erklären?
Muss die geschlossene Kurve in 0 starten, dann durch 1 laufen und wieder bei 0 enden? Oder welche Bedingungen muss die geschlossene Kurve erfüllen?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Fr 17.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo nochmal,
>
> irgendwie kann ich es leider noch nicht nachvollziehen.
> Könntest Du mir die Beziehung zwischen "einem beliebigen
> Integrationsweg [mm]\gamma[/mm] von 0 nach 1" und "einem festen
> Integrationsweg von 0 nach 1 zusammen mit einer
> geschlossenen Kurve" erklären?
>
> Muss die geschlossene Kurve in 0 starten, dann durch 1
> laufen und wieder bei 0 enden? Oder welche Bedingungen muss
> die geschlossene Kurve erfüllen?
Die besteht aus der einen Kurve vorwärts durchlaufen, gefolgt von der anderen Kurve, rückwärts durchlaufen. Oder in Formeln:
[mm] \integral\limits_{\gamma_1} f(z) dz = \integral\limits_{\gamma_1 - \gamma_2} f(z) dz + \integral\limits_{\gamma_2} f(z) dz [/mm],
wobei [mm] $\gamma_1 [/mm] - [mm] \gamma_2$ [/mm] bedeutet, dass zunächst die Kurve [mm] $\gamma_1$ [/mm] vorwärts, dann die Kurve [mm] $\gamma_2$ [/mm] rückwärts durchlaufen wird.
Soweit ist das nur die Definition des Kurvenintegrals und hat überhaupt nichts mit der Funktion f(z) zu tun (solange die Integrale nur definiert sind).
Wenn aber [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] den gleichen Anfangs- und Endpunkt haben, so ist [mm] $\gamma_1 [/mm] - [mm] \gamma_2$ [/mm] eine geschlossene Kurve. Wenn nun weiter f(z) holomorph ist in dem Gebiet, in dem [mm] $\gamma_1 [/mm] - [mm] \gamma_2$ [/mm] liegt, so ist das Kurvenintegral
[mm] \integral\limits_{\gamma_1 - \gamma_2} f(z) dz = 0 [/mm] (Cauchy).
Ist f(z) nicht holomorph, sondern hat isolierte Singularitäten, so lässt sich dieses Integral zum Beispiel mit dem Residuensatz ausrechnen.
Da dieser Fall für $f(z) = [mm] \bruch{1}{1+z^2}$ [/mm] vorliegt, kannst du damit alle möglichen Werte des Integrals
[mm] \integral\limits_{\gamma_1} f(z) dz [/mm]
für beliebige Kurven [mm] $\gamma_1$ [/mm] angeben, wenn du das Integral
[mm] \integral\limits_{\gamma_2} f(z) dz [/mm]
für eine bestimmte Kurve [mm] $\gamma_2$ [/mm] ausgerechnet hast.
Mit diesem Integral solltest du anfangen: suche dir eine möglichst einfache Kurve von 0 nach 1 und berechne das Integral!
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:22 Sa 18.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Super! Vielen Dank! Nun ist mir die Idee mit den Integrationswegen endlich klar geworden. Die Berechnung des Integrals hat auch soweit geklappt.
Damals beim Lösen der Übungsaufgabe habe ich einfach die Stammfunktion $Log$, den Hauptzweig des komplexen Logarithmus, verwendet und dafür volle Punktzahl erhalten. Doch der Übungsleiter hat bei meiner Lösung vermutlich nicht daran gedacht, dass die Kurve dann nicht mehr die negative reelle Achse durchlaufen darf, da ansonsten die Stammfunktion $Log$ nicht definiert ist. Wie auch immer. Vielen Dank nochmal.
Gruß
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